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W. Hurewicz.

Menge V 3 mit zu M % fremder Begrenzung, derart, daß F 2 < V 3 < U und(JJ l -|_ JJ n ).y^ = 0 gilt. Wie oben definieren wir nun eine offene Menge U sgemäß den Bedingungen: M 3 — V 3 < U 3 ; U 3 -V 3 — 0.

Indem man dieses Verfahren ad infinitum fortsetzt, definiert manzwei Folgen {F„} und { U n } von offenen Mengen, so daß folgende Be-ziehungen bestehen:

1. F, < F a < F < ... < F„ < ... < U,

2. M n — F n < U n ,

3. (u 1 + u,+ .,. + u n )-r n = o.

CO

Setzen wir F= F n ; dann ist F eine Umgebung von p und es gilt wegen

71=1

1. F < U. Wir haben noch zu zeigen, daß die Begrenzung von F zu Mfremd ist. Aus 2. folgt zunächst mit Rücksicht auf M — V < (M n — U n )

4. M-V<JJU n .

71=1

CO CO

Aus 1. und 3. ergibt sich F- 5]U n — 0, und daraus, da JJU n eine offene

n—1 w=l

Menge ist:

5- 7-jtü n = 0.

71 = 1

4. und 5. zusammen ergeben:

V-(M — F) = 0;

also ist die Begrenzung von F zu JÍ fremd, womit Satz VII bewiesen ist.Man kann Satz VII auch in folgender Form aussprechen.

Satz Vila. Ist die separable Menge M Summe von abzählbarvielen in M abgeschlossenen nulldimensionalen Mengen, dann ist M null-dimensional.

Betrachten wir ein Beispiel in der Cartesischen Zahlenebene. Es sei reine rationale Zahl; mit M r bezeichnen wir die Menge aller Punkte derEbene, welche die Ordinate r und eine irrationale Abszisse haben, mit N rdie Menge aller Punkte der Ebene, welche die Abszisse r und eine irratio-nale Ordinate haben. Setzen wir P = J¡] M r +J? N r , wo die Summationen

r r

über alle rationalen Zahlen zu erstrecken sind, dann ist P die Mengealler Punkte der Ebene, welche eine rationale und eine irrationale Koordi-nate besitzen. Da die Mengen M r und N r nulldimensionale und, wie mansofort sieht, in P abgeschlossene Mengen sind, ist P nach Satz Vila null-dimensional, was man auch direkt bestätigen kann; da nämlich auf denGeraden y = x + r und y — — x + r, wenn r eine rationale Zahl bedeutet,kein Punkt der Menge P liegen kann, sieht man unmittelbar, daß sichauf jeden Punkt von P Parallelogramme mit zu P fremden Begrenzungenzusammenziehen.