Normalbereiche und Dimensionstheorie.

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Wir ziehen noch eine einfache Folgerung aus Satz VII.

Satz VIIb. Ist die separable Menge M Summe von zwei nulldimen-sionalen Mengen M i und M^, von denen eine zugleich ein F„ und ein G sin M {z. B. abgeschlossen in M) ist, dann ist M nulldimensional; m. a. W.\In einem separablen Raum ist die Summe einer nulldimensionalen Menge,die zugleich F„ und Gg ist, und einer beliebigen nulldimensionalen Mengenulldimensional.

In der Tat, sowohl M x als auch ilf 2 ist unter der angegebenen Vor-aussetzung Summe von abzählbar vielen in M abgeschlossenen nulldimen-sionalen Mengen, also ist M nach Satz VII b nulldimensional.

Zieht sich auf den Punkt p des Raumes eine Folge von Umgebungenzusammen, deren Begrenzungen zu M fremd sind, dann heißt nach Mengerund Urysohn die Menge M im Punkte p nulldimensional. Mit Rücksichtauf eine Verallgemeinerung dieser Begriffsbildung im § 4 dieser Arbeitsagen wir, wenn die Menge M im Punkte p nulldimensional ist, daß M inp unstetig oder auch, daß p UnstetigJceitspunkt der Menge M sei. Dieanderen Punkte des Raumes nennen wir Stetigkeitspunkte von M undsagen auch, die Menge M sei in ihnen stetig. Jeder Stetigkeitspunkt einerMenge M ist offenbar Häufungspunkt von M . Nulldimensional sind jeneMengen, die in allen ihren Punkten (und folglich nach Satz II in allenPunkten des Raumes) unstetig sind. — Die folgenden Betrachtungen be-ruhen auf

Satz VIII. Ist M in der separablen Menge A abgeschlossen und dieMenge A — M nulldimensional, dann ist jeder Unstetigkeitspunkt von MUnstetigkeitspunkt von A.

Sei nämlich p ein Unstetigkeitspunkt von M, V eine Umgebungvon p. Wir haben eine Umgebung U<U von p mit zu A fremder Be-grenzung anzugeben. Wegen der Unstetigkeit von M in p existiert zu-nächst eine Umgebung U', so daß U' <U gilt und die Begrenzung B (U')zu M fremd ist. Die Menge M-U' ist abgeschlossen in A. Da A — Mnulldimensional ist, existiert eine offene Menge F, so daß

wenn B (V ) die Begrenzung von F bezeichnet. Wegen (**) und (***) istauch M-B (V) — 0, also A-B(V)=0. Die Menge F ist eine in U ent-

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§ 3-

Stetigkeits- und Unstetigkeitspunkte.

M-U' < F < U',

{A- M)-B(V)= 0,