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W. Hurewicz.

lialtene Umgebung von p, deren Begrenzung zu A fremd ist. Damit istSatz VIII bewiesen.

Wir bezeichnen nun die Menge aller Stetigkeitspunkte von M mit M>.,die Menge aller Unstetigkeitspunkte von M mit M fl , und untersuchen nun,indem M ein für allemal als separabel vorausgesetzt wird, diese beiden Mengennäher. Nach einem Satz von Menger und von Urysohn ist M,, ein G a ,M-,, ein F„\ 1S ) ferner ist klar, daß die Menge M ■ M„ nulldimensional ist,denn jeder ihrer Punkte ist ja Unstetigkeitspunkt sogar von M.

Bezeichnen wir mit M* die abgeschlossene Hülle von M-,. -M in M,so folgt aus M = M ■ M fl + M* auf Grund von Satz VIII:

Satz IX. Jeder Punkt von M>. ist ein Stetigkeitspunkt der Menge M*.

Aus diesem Satz ergeben sich zahlreiche Folgerungen. Zunächst istjeder Punkt von M>_ als Stetigkeitspunkt von M* auch Häufungspunktvon dieser Menge und mithin von M-M>.. Es gilt also:

Satz X. Die Menge M -Mi ist entweder leer oder insichdicht unddicht in M;..

Nennen wir ferner eine Menge nirgends nulldimensional, wenn siekeine in ihr offene nulldimensionale Menge enthält 14 ); dann gilt:

Satz XI. Die Mengen M, i und M* sind entiveder leer oder nirgendsnulldimensional.

Mit Rücksicht auf Satz X genügt es zu beweisen, daß M * nirgendsnulldimensional ist (denn M* ist dicht in Mj). Sei etwa U eine offeneMenge derart, daß U-M* +0 ist. In U liegt ein Punkt p von M>.. NachSatz IX ist p ein Stetigkeitspunkt von M* und somit von U-M\ . Also istV ■ M * nicht nulldimensional und daher ist M-M* nirgends nulldimensional.

Satz XII. Jede separable Menge M kann auf eine einzige Weise inzwei Mengen M 1 und M 2 zerlegt iverden, so daß M 1 nulldimensional undM„ entiveder leer oder in M abgeschlossen und nirgends nulldimensional ist.

Angenommen, es gäbe zwei solche Zerlegungen M=M 1 J r M. 2 undM = Ml + M> . Da M. 2 in M abgeschlossen ist, existiert eine Umgebung U,so daß U-M<M 1 . Die Menge U M und daher auch U-MÍ ist null-dimensional. Also gehört p nicht zu M> , da diese Menge nirgends null-

13 ) Menger (Monatshefte 34, S. 141) beweist dieB folgendermaßen: Für jedenatürliche Zahl n ist die Menge M u aller Punkte, die eine Umgebung mit zu M fremder

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Begrenzung und einem Durchmesser < — besitzen, offen und es gilt M u = IT :

M n=l

also ist Mfi ein Gä.

14 ) Die oben als nirgends nulldimensional bezeichneten Mengen sind jene, die imSinne von Brouwer (Journ. für d. reine u. angew. Math. 142) „in keinem Punktenulldimensional" sind.