Normalbereiche und Dimensionstheorie.

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dimensional ist. Folglich gilt M l < Ml ; aus denselben Gründen gilt auchMl < M 1 . Also ist M 1 = M[ und _M 2 = M', . Es kann somit nicht mehrals eine Zerlegung geben, die den Forderungen von Satz XII genügt.Eine aber wird geliefert durch die Formel M = {M — M* ) -j- M* .

Nennen wir eine Menge 31 stetig, wenn jeder Punkt von 31 einStetigkeitspunkt von M ist 15 ). Die Summe endlich oder abzählbar un-endlich vieler stetiger Mengen ist, wie man sofort sieht, stetig. Wir be-zeichnen mit M r die Summe aller stetigen Teilmengen von 31. Die Menge M„ist also die größte stetige Teilmenge von M. Wir zeigen

Satz XIII. Die Menge M v ist ein F„ in M .

Es gilt nämlich M v = M ■ (M v )i. Denn erstens ist jeder Punkt von M„ein Stetigkeitspunkt von M t , und gehört mithin zu M ■ (M v );.. Zweitensliegt jeder Punkt von M-(M,.)x in M,.. Denn sonst gäbe es in M—M veinen Stetigkeitspunkt p von M v . Dann wäre aber, wie man leicht sieht,die Menge M,, + (p) stetig, was unmöglich ist, da M v die größte stetigeTeilmenge von M ist. Die Menge (M r );. aber ist ein F„ und damit istSatz XIII bewiesen.

Menger ist für den Fall kompakter Mengen auf Aussagen über dasHausdorfïsche Residuum und die Bairesche Kategorie der Menge Mi ge-führt worden unter der Voraussetzung, daß die Menge M-M>. nulldimen-sional sei in allen Punkten einer in M>. dichten Teilmenge 16 ). Wir wollenähnliche Aussagen für beliebige separable Mengen herleiten, und zwarunter der Voraussetzung, daß M keinen stetigen Teil enthält, also fürMengen mit 31,. = 0. Dabei nennen wir eine Menge M total irreduzibel,wenn M — 31 in 31 dicht liegt 17 ) und total irreduzibel in N(N > 31),wenn N■ (M — M) in N-M dicht ist. Wir sagen ferner, eine Menge M seivon erster Kategorie, wenn 31 Summe ist von abzählbar vielen in M nirgendsdichten Teilmengen (üblicherweise sagt man dann, M sei von ersterKategorie in bezug auf sich selbst). Dann gilt:

Satz XIV. Ist 31 v = 0, dann ist 1. M>. total irreduzibel und 31-31x

lr ') S. Mazurkiewicz nennt (Fund. Math. 2, S. 201) diese Mengen quasizusammen-hängend.

16 ) Einige Überdeckungssätze der Punktmengenlehre, Wiener Ber. 133, S. 442.

17 ) Hausdorff bezeichnet (Mengenlehre 1914, S. 281) als Residuum der Menge Mdie Menge M-M—M und nennt reduzibel jene Mengen, welche durch iterierte Resi-duenbildung leer gemacht werden können. Die von Menger vorgeschlagene Be-zeichnung total irreduzibel für jene Mengen, deren Komplement zur abgeschlossenenHülle in dieser letzteren dicht liegt, findet ihre Rechtfertigung darin, daß dieseMengen mit ihrem Hausdorffschen Residuum identisch sind, also durch Residuen-bildung überhaupt nicht reduziert werden.