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W. Hurewicz.

total irreduzibel in M, 2. M ■ M u dicht in M, 3. Mi und M-M-,. von ersterKategorie.

Wäre nämlich 1. M> . nicht total irreduzibel, dann gäbe es einenPunkt p von M>. , der nicht Häufungspunkt von M>. — M>. wäre. Es exi-stierte also eine Umgebung U von p, so daß U ■ Mi < Mi. NachSatz Xwäre die Menge V-M-Mi nicht leer. Nach Satz IX wäre jeder Punktvon U-M-Mi Stetigkeitspunkt von M ■ Mi = M* und mithin von U ■ M ■ M >.— U-M- Mi. Also wäre V-M-Mi eine stetige Teilmenge von M, was derVoraussetzung il#,, = 0 widerspricht. Ganz analog zeigt man, daß M -Mitotal irreduzibel in M ist. Aus dem Bewiesenen folgt unmittelbar, daß2. M-M,, dicht in M ist. Auf Grund der Tatsache, daß jedes totalirreduzible F„ von erster Kategorie im Sinne von Baire ist 18 ), folgt ausSatz XIV 1., daß der F„ M¡. und der F„ in M M ■ M> von erster Kate-gorie ist.

Die Voraussetzung M v —0 ist (ebenso wie die Mengersche Voraus-setzung) insbesondere erfüllt, wenn die Menge M -Mi nulldimensional ist.Dieser Fall kann sich wirklich ereignen. Sierpiñski hat eine Menge Mkonstruiert 1 "), für welche M -Mi sogar bloß abzählbar ist. Wenn dieMenge Mi von zweiter Kategorie im Sinne von Baire oder mit ihremHausdorffschen Residuum nicht identisch ist, dann ist sie Satz XIV zu-folge sicher nicht nulldimensional. Auf der Suche nach anderen hin-reichenden Bedingungen dafür ist Menger auf seinen neuen Typus vonUberdeckungssätzen geführt worden; wir verweisen diesbezüglich auf dieMengersche Darstellung 20 ).

Hier ziehen wir noch eine einfache Folgerung aus dem Bewiesenen:

Satz XV. 1st die Menge M -Mi nicht nulldimensional, dann ist sieSumme einer in M total irreduziblen Menge von erster Kategorie und einernirgends nulldimensionalen Menge.

Setzen wir P — M- Mi. Mit Rücksicht auf Satz XI brauchen wir nurzu zeigen, daß die Menge P—P>_ total irreduzibel und von erster Kate-gorie ist. Da die Menge Q = M —in M offen ist, gilt, wie man leicht sieht,Q.Qi = Q.Mi = M-M,.-Fi-Mi = P-Pi. Die Menge P-Pi = Q-Qiist nulldimensional, also nach Satz XIV eine Menge von erster Kategorie,welche in Q und mithin in M total irreduzibel ist.

18 ) Dies folgt daraus, daß in einer total irreduziblen Menge jede abgeschlosseneMenge nirgends dicht liegt.

19 ) Fund. Math. 2, S. 81.

30 ) Wiener Ber. 133, S. 421.