Normalbereiche und Dimensionstheorie.' 1

751

§ 4.

Abgeschlossene Komponenten.

Sei M eine beliebige Menge, p ein Punkt der abgeschlossenen Hülle Mvon M. Wir betrachten die Menge M p aller Punkte q von M, die folgendeEigenschaft haben: Es existiert keine offene Menge U mit zu M fremderBegrenzung, so daß q in U, p im Komplement C(l7) von Ü liegt. DerPunkt p gehört offenbar zu M . Ferner ist, wie man sofort sieht, dieMenget— M in M offen 21 ); also ist die Menge M p abgeschlossen. Wirbezeichnen daher die Menge M p als die zu p gehörige abgeschlosseneKomponente von M .

Ist beispielsweise M im R 1 die Summe der offenen Intervalle ( — 1, 0)und (0, 1). Die abgeschlossenen Komponenten von M sind die drei ab-geschlossenen Intervalle [—1,0], [0,1], [—1,1], wobei das letzt-angeführte Intervall die abgeschlossene Komponente des Punktes 0 ist.Dieses Beispiel zeigt, daß die verschiedenen abgeschlossenen Komponenteneiner Menge nicht notwendig untereinander fremd sind.

Aus der Definition der abgeschlossenen Komponente folgt unmittelbar

Satz XVI. Sind p und q zwei Punkte der abgeschlossenen Hüllevon M und liegt q in der zu p gehörigen abgeschlossenen Komponentevon M, so liegt auch p in der zu q gehörigen abgeschlossenen Kompo-nente von M.

Ferner beweisen wir mit der von Menger ausgebildeten Methode derEinschließung von Umgebungsbegrenzungen:

Satz XVII. Die abgeschlossenen Komponenten einer kompaktenMenge sind zusammenhängende Mengen.

Sei p ein Punkt von M. Angenommen, die zu p gehörige ab-geschlossene Komponente M p von M wäre nicht zusammenhängend, alsoSumme von zwei fremden nicht leeren, abgeschlossenen Mengen M' und M".Der Punkt p möge etwa in M' liegen. Sei U eine offene Menge, so daßM' < U und M" • U — 0 gilt. Die Begrenzung B ( U ) von U ist zu M pfremd. Zu jedem Punkt q der kompakten abgeschlossenen Menge M • B (U)existiert eine Umgebung U(q) von q mit zu M fremder Begrenzung der-art, daß p in C(U ) liegt. Unter den Mengen U q gibt es nach demBoreischen Theorem endlich viele, etwa TJ 1 , U„ , ..., U n , in deren SummeM-B {JJ) enthalten ist. Die Menge V = U — U 3 + Í7 2 + ... + U m ist eineUmgebung von p mit zu M fremder Begrenzung, und jeder Punkt von M"

21 ) Ist nämlich g ein Punkt von M — Mj,, so gibt es eine Umgebung U von q mitzu M fremder Begrenzung derart, daß p weder im Innern von U, noch auf der Begrenzungvon U liegt. Dann ist die Umgebung U zu M,, fremd und folglich U M<iM—M p .