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W. Hurewicz.

liegt außerhalb V, gehört also nicht zu M ¡t im Widerspruch zur Voraus-aussetzung. Damit ist Satz XVII bewiesen.

Der Begriff der abgeschlossenen Komponente wird zu den im vorigenParagraph betrachteten Begriffen in Beziehung gesetzt durch

Satz XVIII. Sei M eine Menge eines kompakten Raumes. Damitder Punkt p von M ein Unstetigkeitspunkt von M sei, ist notwendig undhinreichend, daß die zu p gehörige abgeschlossene Komponente nur ausdem Punkt p bestehe.

Die Notwendigkeit der Bedingung folgt unmittelbar aus den Defini-tionen der abgeschlossenen Komponente und des Unstetigkeitspunktes.Die Bedingung ist auch hinreichend. Sei nämlich p ein Punkt von Mderart, daß die zu p gehörige abgeschlossene Komponente M nur ausdem Punkt p besteht. Sei TJ eine beliebige Umgebung von p . Zu jedemPunkt q von M — U existiert eine Umgebung U q , deren abgeschlosseneHülle den Punkt p nicht enthält und deren Begrenzung zu M fremd ist.Da M — U kompakt und abgeschlossen ist, gibt es unter den Mengen U qendlich viele etwa U 1 , Z7 2 , ..., U n , in deren Summe die Menge M — Uenthalten ist. ¡Die Menge V = U — (U 1 + Ü. 2 + ... + U n ) ist wiederumeine Umgebung von p, die in U enthalten ist und deren Begrenzung zu Mfremd ist. Also ist p ein Unstetigkeitspunkt von M . Damit ist Satz XVIIIbewiesen.

Eine unmittelbare Folge von Satz XVIII ist

Satz XIX. Damit die Menge M eines kompakten Raumes null-dimensional sei, ist notwendig und hinreichend, daß jede abgeschlosseneKomponente von M aus nur einem Punkt bestehe.

Satz XVIII ergibt ferner eine Verschärfung des Mengerschen Satzes,daß in jeder Umgebung eines Stetigkeitspunktes der Menge M Kontinuaenthalten seien, die ausschließlich Stetigkeitspunkte von M enthalten. Wirkönnen nun nämlich zeigen, daß durch jeden Stetigkeitspunkt von M einderartiges Kontinuum hindurchgeht.

Satz XX. Ist p ein Stetigkeitspunkt der kompakten Menge M, soist p in einem Kontinuum enthalten, dessen sämtliche Punkte Stetigkeits-punkte von M sind.

Nach Satz XVII und XVIII ist die abgeschlossene Komponente M peines Stetigkeitspunktes p ein Kontinuum. Nach Satz XVI enthält dieabgeschlossene Komponente jedes Punktes von M p mehr als einen Punkt.Jeder Punkt des p enthaltenden Kontinuums M ist also Stetigkeitspunktvon M , womit Satz XX bewiesen ist.

In Satz XX ist insbesondere enthalten, daß die Menge M-,. aller Ste-tigkeitspunkte entweder leer oder eine stetige Menge ist.