Normalbereiche und Dimensionstheorie.

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Satz XXI. Für kompakte abgeschlossene Mengen stimmen die ab-geschlossenen Komponenten mit den Komponenten überein.

Sei nämlich p ein Punkt der kompakten abgeschlossenen Menge M ,M die zu p gehörige Komponente, M' v die p enthaltende Komponentevon M. Da M v zusammenhängend ist, gilt M v < M p . Angenommennun, M p wäre eine echte Teilmenge von M p . Dann gäbe es in M einenPunkt q von folgender Art: Es existiert eine Umgebung U von q, derenabgeschlossene Hülle den Punkt p nicht enthält und deren Begrenzungzu M und mithin zu M p fremd ist. Das widerspricht aber dem Zusam-menhang von M p . Also ist M v —M' v , womit Satz XXI bewiesen ist.

Aus den Sätzen XXI und XVIII folgt, daß ein Punkt einer kom-pakten abgeschlossenen Menge M dann und nur dann Stetigkeitspunktvon M ist, wenn er in einem Teilkontinuum von M liegt. Da die Menge M>.aller Stetigkeitspunkte von M ein F„ ist, so erhalten wir als Nebenergebnis

Satz XXII. Die Summe aller Teilkontinua einer kompakten abge-schlossenen Menge ist ein F a .

Eine Menge heißt diskontinuierlich , wenn sie kein Kontinuum ent-hält. Aus dem Bewiesenen folgt, daß für kompakte abgeschlossene Mengenauch die Umkehrung gilt: Eine kompakte abgeschlossene diskontinuier-liche Menge ist nulldimensional. Auf Grund von Satz VII folgt darausder Mazurkiewiczsche Satz 22 ): Unter den halbkompakten F„ stimmen dienulldimensionalen und die diskontinuierlichen Mengen überein.

II. Teil.

Über Normalbereiche und zugehörige unstetige Mengen.

§ 5.

Die Hauptsätze über Normalbereiche.

Wir wenden uns der Aufgabe zu, die Mengen M von folgender Be-schaffenheit zu untersuchen: Auf jeden Punkt von M zieht sich eine Folgevon in M offenen Mengen zusammen, deren Begrenzungen in M eine ge-wisse Eigenschaft haben, oder, was auf dasselbe hinausläuft, deren Be-grenzungen in M einem gewissen Bereich 93 von Mengen angehören. Wirnennen solche Mengen total unstetig in bezug auf den Bereich 93. Dietotal unstetigen Mengen hinsichtlich des Bereiches 58, welcher bloß dieleere Menge enthält, sind die nulldimensionalen Mengen.

2 ' 3 ) Fund. Math. 3, S. 67. — Die Mengen ohne Teilkontinuum, die wir im Anschluß

an Menger als diskontinuierlich bezeichnen, werden vielfach „punkthaft" (punktiform)genannt.