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W. Hurewicz.

Einen Bereich 9Î von Mengen nennen loir einen Normalbereich, wennfolgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Ist M eine Menge aus 9 c , so auch jede Teilmenge von M.

2. 1st M Summe von abzählbar vielen in M abgeschlossenen Mengen,die zum Bereich 9? gehören, dann gehört auch M zum Bereich 9 c.

Der Bereich aller separablen nulldimensionalen Mengen ist auf Grundvon Satz Vila ein Normalbereich. Weitere Beispiele von Normalbereichenliefern der Bereich aller abzählbaren Mengen, ferner der Bereich allerMengen, die im Baireschen Sinn von erster Kategorie in bezug auf einebestimmte Menge sind 23 ).

Wegen der Bedingung 1. erhält jeder Normalbereich die leere Menge.Daher ist jede nulldimensionale Menge in bezug auf einen beliebigen Nor-malbereich total unstetig. Es gilt ferner:

Theorein I. Damit eine separable Menge M in bezug auf einenNormalber eich 9 c total unstetig sei, ist notwendig und hinreichend, daß MSumme einer nulldimensionalen Menge und einer Menge aus 9Î sei.

Die Bedingung ist notwendig. Ist nämlich M total unstetig in bezugauf den Bereich 9Î, dann existiert zu jedem Punkt p von M und zu jedernatürlichen Zahl n eine Relativumgebung (d. h. eine p enthaltende in M

offene Menge) U" (p) von p, deren Durchmesser < ^ ist und deren Be-grenzung in M eine Menge aus 9Î ist. Aus dem verallgemeinerten Borel-schen Theorem folgt sodann, daß AI für jede natürliche Zahl n Summeeiner Folge Z7", U", ..., Um, • • • von in M offenen Mengen ist, derenDurchmesser < — und deren Begrenzungen in M Mengen aus 9 Î sind.Sei B ( Um) die Begrenzung von U',\ in M. Setzen wir

N = VB (U2).

«,m=l

Da die Mengen B (Um) in M und daher auch in N abgeschlossen sind,ist N eine Menge aus 9?. Ferner ist die Menge M — N nulldimensional,denn die Begrenzungen der Mengen ( M — N) ■ Um sind in M leer und aufjeden Punkt von M — N zieht sich eine Folge von Mengen aus dem Sy-stem {Um} zusammen.

Die Bedingung ist hinreichend. Sei nämlich M = M -j- N, wo M'eine nulldimensionale Menge, N eine Menge aus 9Î bezeichnet. Auf Grundvon Satz II zieht sich auf jeden Punkt von M eine Folge {U n } von Um-gebungen mit zu M' fremden Begrenzungen zusammen. Die Begrenzungen

23 ) Man kann leicht zeigen, daß es zu jedem Bereich von Mengen einen klein-sten ihn enthaltenden Normalbereich gibt.