Normalbereiche und DimensionBtheorie.

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der Mengen M ■ U n in M sind Teilmengen von N, gehören also zu 9c.Folglich ist M in bezug auf 9Z total unstetig.

Betrachten wir z. B. das System 9 c aller Teilmengen einer separablenMenge M, die in bezug auf M von erster Kategorie sind. 92 ist einNormalbereich und M ist in bezug auf 9c total unstetig. Denn die Be-grenzungen in M von jeder in M offenen Menge sind sogar nirgends dichtin M. Aus dem Theorem I folgt also:

Satz XXIII. Jede separable Menge M ist nach Vernachlässigungeiner Teilmenge von erster Kategorie in M nulldimensional.

Da nach Sierpinski 21 ) jede separable nulldimensionale Menge mit einerTeilmenge R 1 (der Zahlengeraden) homöomorph ist, so folgt aus Satz XXIIISatz XXIV. Jede separable Menge ist nach Vernachlässigung einerTeilmenge von erster Kategorie mit einer linearen Menge homöomorph.

Auf Grund von Theorem I läßt sich die ganze Theorie der hinsicht-lich eines beliebigen Normalbereiches total unstetigen Mengen auf dieTheorie der nulldimensionalen Mengen zurückführen.

Wir bezeichnen im folgenden mit 9Î stets einen Normalbereich. Zu-nächst ist klar, daß jeder Teil einer in bezug auf 9? total unstetigen Mengein bezug auf 9Î total unstetig ist. Ferner gilt in Analogie zu Satz III

Satz lila. Ist die separable Menge M total unstetig in bezug auf 9c,und ist die Menge P in P -f- M abgeschlossen, dann existiert zu jederUmgebung U von P eine Umgebung V < ü von P derart, daß der Durch-schnitt von M mit der Begrenzung von V eine Menge aus 9Í ist.

Auf Grund von Theorem I ist M Summe einer nulldimensionalenMenge M' und einer Menge N aus 91. Ist die Menge P in P -\- M ab-geschlossen, so ist sie auch in P-f-ili' abgeschlossen, und zu jeder Um-gebung U von P gibt es nach Satz III eine Umgebung V < U von P mitzu M' fremder Begrenzung. Der Durchschnitt von M mit der Begrenzungvon V ist eine Teilmenge von N, gehört also zu 91. Damit ist Satz lilabewiesen.

Satz III enthält als Spezialfall folgendes Analogon zu Satz II:

Satz IIa. Ist die separable Menge M in bezug auf 9c total un-stetig, dann zieht sich auf jeden Punkt des Raumes eine Folge von Um-gebungen zusammen, so daß die Durchschnitte von M mit den Begrenzungendieser Umgebungen zum Bereich 9c gehören. Ist eine separable Menge Min bezug auf 9c total unstetig, so bleibt ihr also diese Eigenschaft nach Hin-zufügung eines beliebigen einzelnen Punktes erhalten.

Fund. Math. 2, S. 85. Sierpiñski spricht seinen Satz bloß für TeilmengenEuklidischer Räume aus, doch geht diese Einschränkung in seinen Beweis nicht ein.