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W. Hurewicz.

Wir beweisen endlich:

Satz IVa. Damit eine separable Menge M in bezug auf 9Î totalunstetig sei, ist notwendig und, hinreichend, daß es zu je zwei in M ab-geschlossenen zueinander fremden Mengen N 1 und iV 2 zwei in M abge-schlossene Mengen M 1 und M„ gibt, deren Durchschnitt eine Menge aus 9Ïist und so, daß

N x < M l - M 1 M n _, N„< M 2 - M 1 M v M =M 1 + M,

gilt.

Die Bedingung ist notwendig. Sei nämlich M in bezug auf 9c totalunstetig. Sind die Mengen N 1 und N„ zueinander fremd und in M ab-geschlossen, so gibt es nach Hilfssatz 1 eine offene Menge U derart, daßN t < U und iV 2 • Ü — 0 ist. Nach Satz III a existiert eine Umgebung V < Uvon N y , deren Begrenzung mit M einen zu 9c gehörigen Durchschnitt hat.Setzen wir M 1 = V-M und M„ = C(V)-M, wo G(V) das Komplementvon F bezeichnet, dann genügen die in M abgeschlossenen Mengen M 1 und Jf 2allen Forderungen des Satzes IVa.

Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen nämlich, sie sei erfüllt.Ist dann p ein Punkt von M, U eine Umgebung von P, so lassen sichnach Voraussetzung zwei in M abgeschlossene Mengen M i und M.-, mitfolgenden Eigenschaften bestimmen:

1. M =M 1 + M.,,

2. {p)<M 1 -M í¡ , 'M-C(U) < Mg — M 1 ,

3. M 1 -M. 2 ist eine Menge aus 9Î.

Die Menge V = M — M„ ist in M offen. Sie enthält den Punkt p undist selbst in U enthalten. Ferner ist die Begrenzung von F in M eineTeilmenge von M L -M„, gehört also zu 9Í. Folglich ist M in bezug auf 9?total unstetig. Damit ist Satz IV a bewiesen.

Wir können die hinsichtlich eines Normalbereiches total unstetigenMengen durch Zerlegungseigenschaften charakterisieren, so wie früher dienulldimensionalen Mengen.

Satz Va. Damit die kompakte (halbkompakte) Menge M in bezuga uf 9? total unstetig sei, ist notwendig und hinreichend, daß M für jedess > 0 Summe sei von endlich vielen (von einer Nullfolge von) in M ab-geschlossenen Mengen M 1 , M. 2 , ..., M n , deren Durchmesser < e sind unddie zu je zweien Durchschnitte haben, die dem Bereich 91 angehören.

Die Bedingung ist notwendig. Ist nämlich die kompakte Menge Min bezug auf 91 total unstetig und ist £ > 0 vorgegeben, dann existiertnach Satz IIa zu jedem Punkt p von M eine Umgebung U(p) von p vonfolgenden Eigenschaften: 1. Die Durchmesser der U(p) sind < e, 2. die