Normalbereiohe und Dimensionstheorie.

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Durchschnitte von M mit den Begrenzungen der U(p) sind Mengen aus 9c.Wir wählen unter den Mengen U(p ) nach dem Boreischen Theorem endlichviele, etwa U 1 , U„, ..., U n , in deren Summe M enthalten ist, aus unddefinieren A m = [U m + + + Die Mengen A m

sind in M abgeschlossen, ihre Durchmesser sind < e. Es gilt ferner fürn k A¡- U k == 0. Daraus folgt wegen A k <Uj. die Beziehung

A i -A k < M-{Üi — U k ) = Mit der Menge M-B(U U ) gehört da-

her auch der Durchschnitt A { ■ A k zu 9Î und damit ist gezeigt, daß dieMengen A n allen Forderungen des Satzes genügen.

Die Bedingung ist hinreichend. Ist sie nämlich erfüllt, so kann manfür jede natürliche Zahl 1c endlich viele in M abgeschlossene MengenAi , As, . ■., An k mit Durchmessern < j bestimmen, so daß

(*) M= ZA* m

m= 1

gilt und daß die Durchschnitte A t -A m {I =j= m) zum Bereich 9Î gehören.Setzen wir

co l — l , ,

(**) N=yj 2 ZA] -Ai

k= 12=1 m= 1

und

(***) M' = M-N, B,n = Am — N (¿=1,2,...; m=l,2,

Die Menge N gehört als Summe von abzählbar vielen in N abgeschlossenenMengen aus 9Î selbst zu 9J. Aus (**) folgt

(t) Bi-Bi = 0 (k = 1, 2, ... ; m, l = 1, 2, ..., n k ; 1 4= m).

Aus (*) folgt:

(tt) M'= n %Bl.

m= 1

Da die Mengen B^ = Am C(N) in M' = M-C(N) abgeschlossen sind undda der Durchmesser von B* < — ist, folgt aus (f) und (ff) auf Grund

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von Satz V, daß M' nulldimensional ist. Dann ist aber die Menge M = M'-\-Nnach Theorem I in bezug auf 9 c total unstetig.

Analog beweist man den Satz Va für halbkompakte Mengen.Den weiteren Ausführungen liegt zugrunde

Satz XXV. Sind 9ij und 9c., zwei Normalbereiche, dann ist dasSystem 9Î, bestehend aus allen Mengen, die Summe einer Menge aus 9f xund einer Menge aus 9?„ sind, ein Normalbereich.

Daß jeder Teil einer Menge aus 9Í zu 92 gehört, ist klar. Es ist nurfolgendes zu zeigen: Ist N Summe einer Folge {N k } von in N abge-schlossenen Mengen, die zu 9Î gehören, dann ist auch N eine Menge aus 9c.