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W. Hurewicz.

Setzen wir N[ = N ± und N¡¡ = Nje — Ni (¿ = 2,3,...) dann ist N= ¿ N¡ ; ,

i=1 i=l

die Mengen N/¿ sind paarweise fremde F a in N und gehören zum Bereich 9Ï,es gilt also: N¿ = N¿ N%, wo N I und Nf : Mengen aus bzw. aus 9ï 2sind. Setzen wir ferner

(°) N* = J N¿ , N** = ]£N k 2 .

Jc—l k=l

Dann gilt:

1. N=N* + N**,

2. N*-Nk= Nk, N**-N¿=N¿ (k = 1,2,...).

Aus 2. folgt, daß die Mengen N¿ in N* F a sind. Folglich ist N* nach(°) Summe von abzählbar vielen in N* abgeschlossenen Mengen aus ,also selbst eine Menge aus Ebenso ist N** eine Menge aus 9Î 2 und dieFormel 1. zeigt, daß N eine Menge aus 9Z ist. Damit ist Satz XXV bewiesen.

Nach dem Satz Vila ist das System aller nulldimensionalen Mengenein Normalbereich. Auf Grund von Theorem I und Satz XXV ergibt sichdaraus der folgende Hauptsatz aus der Theorie der Normalbereiche:Theorem II. Das System aller separablen Mengen, die in bezugauf einen Normalbereich total unstetig sind, bildet einen Normalbereich.

Wir können die in der Theorie der nulldimensionalen Mengen defi-nierten Begriffe für beliebige Normalbereiche einführen. In Satz VII bz. B. kann das Wort „nulldimensional" ersetzt werden durch die Worte„total unstetig in bezug auf 91". Wir nennen ferner den Punkt p Un-stetigkeits'punkt der Menge M in bezug auf 91, wenn sich auf p eineFolge von Umgebungen zusammenzieht, deren Begrenzungen mit M Durch-schnitte haben, die Mengen des Bereiches 9? sind. Die anderen Punktedes Raumes nennen wir Stetigkeitspunkte von M in bezug auf 9J. Esgilt dann

Satz XXVI. Damit der Punkt p ein Unstetigkeitspunkt der Menge Min bezug auf 9Í sei, ist notwendig und hinreichend, daß M Summe sei vonzwei Mengen M und N, so daß p Unstetigkeitspunkt von M' ist und daß Nzum Bereich 9Ï gehört.

Die Bedingung ist notwendig. Denn wenn p ein Unstetigkeitspunktvon M in bezug auf 9Í ist, dann existiert eine sich auf p zusammen-ziehende Folge {U n } von Umgebungen, so daß die Durchschnitte M B (ü n )

00

zu 9Ï gehören. Setzen wir N=JJM-B(U n ), so ist N eine Menge aus 9Î

71=1

und p ist ein Unstetigkeitspunkt von M — N. Daß die Bedingung hin-reichend ist, zeigt man genau so wie beim Beweise von Theorem I.Wir beweisen nun folgendes Analogon von Satz VIII: