Normalbereiche und Dimensionatheorie.

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Satz Villa. Es sei die Menge M in der separables Menge A ab-geschlossen und es sei die Menge A — M total unstetig in bezug auf 9t.Ist dann der Punkt p ein Unstetigkeitspunkt von M in bezug auf 9?, dannist p auch ein Unstetigkeitspunkt von A in bezug auf 9c.

Auf Grund von Theorem I und von Satz XXVI können wir schreiben :M = M'+N X , A- M= P + N„

wobei N ± und iV 2 Mengen aus 9? sind, M' in p unstetig und P null-di mensional ist. Da M in A abgeschlossen ist, ist wegen N i = M(N 1 + iV 2 )in N 1 + N 2 abgeschlossen. Daher ist iV 2 in N t + N 2 offen, also ist jV 2und somit auch JVj + iV 2 Summe von abzählbar vielen in N t + N., ab-geschlossenen Mengen aus 9Í. Die Menge N=N 1 -\-N i gehört daher zumBereich 31. Nun ist p nach Satz VIII ein Unstetigkeitspunkt von M' + P(denn M' ist in M' P abgeschlossen); daher ist p nach Satz XXVIein Unstetigkeitspunkt von A = M' -j- P + N in bezug auf 31.

Alle Sätze des § 3 sind Folgerungen von Satz VIII und bleiben dahergültig, wenn man die Worte „Unstetigkeitspunkt" und „Stetigkeitspunkt"ersetzt durch die Worte „Unstetigkeitspunkt in bezug auf 9?" bzw.,,Stetigkeitspunkt in bezug auf 9Î". An Stelle der stetigen Mengen tretendabei die in bezug auf 9Ï stetigen (d. h. in bezug auf 9Î keinen Unstetig-keitspunkt enthaltenden) Mengen. Es erübrigt sich alle diese Sätze noch-mals anzuführen.

Hingewiesen sei darauf, daß man auch abgeschlossene Komponentenhinsichtlich 9Í einführen kann. Als die zum Punkt p gehörige abge-schlossene Komponente M der Menge M hinsichtlich 9Î bezeichnen wirdie Menge aller Punkte q von M von folgender Eigenschaft: Es existiertkeine offene Menge U, deren Begrenzung mit M einen Durchschnitt hat,welcher eine Menge aus 31 ist, und so daß q in U, p im Komplement C (U)von U liegt.

Ganz wie in § 4 zeigt man (man hat dabei nur die im § 4 ver-wendeten offenen Mengen mit zu M fremden Begrenzungen durch offeneMengen zu ersetzen, deren Durchschnitte mit M Mengen aus 9Î sind),daß die Mengen M p entweder Kontinua sind, oder bloß aus dem Punkt pbestehen; der letztere Fall tritt (vgl. Satz XVIII) dann und nur dannein, wenn p ein Unstetigkeitspunkt von M hinsichtlich 9Î ist. Hierausfolgert man so wie Satz XX

Theorem III. Jeder Stetigkeitspunkt der kompakten Menge M inbezug auf den Nonnalbereich Tc liegt in einem Kontinuum, das aus-schließlich solche Stetigkeitspunkte enthält 25 ).

25 ) (Zusatz bei der Korrektur): Das Theorem III bleibt (wie aus den Beweisen von § 4 hervorgeht) gültig, wenn der Bereich 9Î, anstatt Normalbereich zu

(Fortsetzung der Fußnote 25 auf der nächsten Seite.)