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W. Hurewicz.

§ 6.

Anwendungen auf die J)imensionstheoric.

Wir sind zum Begriff des Normalbereiches dadurch gelangt, daß wirzwei Haupteigenschaften des Bereiches aller separablen nulldimensionalenMengen als selbständige Postulate ausgesprochen und im übrigen von derNulldimensionalität abstrahiert haben. Ferner ist unser Prinzip des Über-ganges von einem Normalbereich s Jc zum Normalbereich aller in bezugauf 9? total unstetigen Mengen identisch mit dem Menger-UrysohnschenPrinzip des Uberganges vom Bereich der höchstens (n — l)-dimensionalenMengen zum Bereich der höchstens »-dimensionalen Mengen.

Aus den vorstehenden Betrachtungen ergeben sich daher vor allemwichtige dimensionstheoretische Konsequenzen.

Höchstens n- dimensional (im Punkte p) heißt in unserer Terminologiejede Menge, die total unstetig (unstetig in p) in bezug auf den Bereichder höchstens {n — 1) - dimensionalen Mengen, wobei der Bereich der(— 1)- dimensionalen Mengen bloß die leere Menge enthält. Jene höchstensn- dimensionalen Mengen, die nicht auch höchstens ( n — 1)- dimensional sind,heißen n- dimensional. Durch mehrfache Anwendung des Theorems II folgt

Theorem IY. Die separablen höchstens n-dimensionalen Mengenbilden einen Normalbereich.

Dieses Ergebnis ist eine Verallgemeinerung des Theorems von Mengerund Urysohn, daß die Summe abzählbar vieler höchstens n-dimensionalerabgeschlossener kompakter Mengen höchstens n- dimensional ist 36 ). Dennden Hauptinhalt von Theorem IV bildet der Satz, daß jede separableMenge M, welche Summe von abzählbar vielen in M abgeschlossenenhöchstens n- dimensionalen Mengen ist, auch selbst höchstens n- dimen-sional ist. Die einschränkende Voraussetzung dieses Summensatzes (d. h.die Abgeschlossenheit der Summanden in der Summe) betrifft nicht dieeinzelnen Summanden, sondern ihre gegenseitige Lage, während bei den soebenerwähnten Summentheorem von Menger und Urysohn jeder einzelne Sum-mand einer einschränkenden Bedingung unterworfen wird.

sein, den folgenden weniger einschränkenden Bedingungen genügt: 1. Jeder Teil einerMenge aus 9? gehört zu 9Î . 2. Die Summe von endlich vielen in der Summe ab-geschlossenen Mengen aus 9} ist selbst eine Menge aus 9Î . Insbesondere gilt also dasTheorem III für den Bereich aller endlichen Mengen, d. h. haben die Begrenzungenaller hinreichend kleinen Umgebungen eines Punktes p unendlich viele Punkte mitder kompakten M gemein, so liegt p in einem Kontinuum von Punkten mit derselbenEigenschaft.

26 ) Monatshefte 34; Fund. Math. 8.