Normalbereiche und Dimensionstheorie.

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Jeder Satz über Normalbereiche kann dem Theorem IV zufolge fürden Bereich der separablen höchstens n-dimensionalen Mengen ausgesprochenwerden. Wir beschränken uns auf die Formulierung der wichtigsten dimen-sionstheoretischen Sätze, die man so erhält. Eine n- fache Anwendung vonTheorem I ergibt:

Theorem V. Damit die separable Menge M höchstens n- dimen-sional sei, ist notwendig und hinreichend, daß M Summe von n -f- 1 null-dimensionalen Mengen sei ; m. a. W. die separable Menge M ist dann undnur dann n- dimensional, wenn sie in n-\- 1 aber nicht in weniger null-dimensionale Mengen gespalten werden kann"').

Sehr leicht läßt sich eine Zerlegung des R n (des n-dimensionalenZahlenraumes) in n + 1 nulldimensionale Mengen angeben durch Ver-allgemeinerung eines Gedankens von Sierpinski 38 ) zur Zerlegung der Ebenein drei nulldimensionale Mengen. Bezeichnet man nämlich mit M k, n — 1, n) die Menge aller Punkte des R n , die 1c rationale

k irrationale Koordinaten haben, dann ist R n = M 0 M 1 - j-•..

(k = 0, 1,und n

-(- M n die gewünschte Zerlegung. Übrigens ist die Summe von je zweiMengen M¡ zusammenhängend, so daß der R in und der ß 2n + 1 Summevon Ti + l zusammenhängenden eindimensionalen Mengen sind.

Aus dem Theorem V folgt unmittelbar der übrigens auch direktbeweisbare

Satz XXVII. Die Summe zweier separabler Mengen, von denen dieeine n- dimensional, die andere m- dimensional ist, ist höchstens (n + m + 1)-dimensional, und diese Schranke kann im allgemeinen nicht erniedrigtwerden 28 *). 1st dagegen mindestens einer der Summanden zugleich ein F„und ein G& in der Summe, dann ist deren Dimension gleich der größerender beiden Zahlen m und n.

Der zweite Teil von Satz XXVII ergibt sich unmittelbar aus Theorem IV(vgl. Satz VII a ). Insbesondere ist in Satz XXVII der Satz enthalten, daßdie Dimension einer separablen ?i-dimensionalen Menge durch Hinzufügungeines beliebigen einzelnen Punktes nicht erhöht werden kann 28b ).

Ferner ist auf Grund des zweiten Teiles von Satz XXVII klar, daßunter den n + 1 nulldimensionalen Mengen, in welche eine n- dimensionale

Hinsichtlich kompakter abgeschlossener Mengen wurde dieses Theorem vonUrysohn (C. R. 175) ohne Beweis ausgesprochen. Der in den Fund. Math, erscheinendeUrysohnsche Beweis war dem Verfasser bei der Drucklegung dieser Arbeit unbekannt.

28 ) Fund. Math. 4, S. 1.

28a ) Dieses Ergebnis findet sich auch bei Urysohn, Fund. Math. S, S. 317 — 319.

28b ) Durch diesen Satz wird, wie Menger bemerkt hat, die von ihm in Betrachtgezogene Unterscheidung zwischen der inneren und äußeren Dimension (vgl. Monats-hefte f. Math. u. Phys. 34) entbehrlich.

Mathematische Annalen. 97 49

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