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W. Hurewicz.

Menge zerlegt werden kann, keine zugleich F„ und G& in der Menge seinkann. Man kann in dieser Richtung weiter zeigen, daß unter den n + 1nulldimensionalen Summanden, falls dieselben paarweise fremd sind, nichtmehr als zwei Boreische Mengen zweiter Ordnung auftreten können unddaß in diesem Fall die eine ein F„, die andere ein Gs ist.

Eine unmittelbare Folge von Theorem V ist schließlich

Satz XXVIII. Ist die n-dimensionale Menge M n in einer reparablen(n-\- k)-dimensionalen Menge M n + k enthalten, dann existieren n — 1 MengenM n+1 , M n+¡¡ ,,.., M n+]c _ 1 mit den Dimensionszahlen n + 1 , n + 2, ..n + k — 1, so daß gilt:

K < M n+ i <■■■< M n+le _ 1 < M n+k .

Nennen wir eine Menge M überall n- dimensional , wenn jede in Moffene Menge n- dimensional ist. Sei M (n) die Menge aller Punkte, in denendie separable Menge M mindestens n- dimensional ist, dann folgt aus demAnalogon des Satzes IX und XII hinsichtlich des Normalbereiches derhöchstens (n — 2)-dimensionalen Mengen:

Theorem VI. Die Menge M-M^ n) ist in jedem Punkte von M 1 "'mindestens n- dimensional. Jede separable n-dimensionale Menge läßt sichfolglich (und zwar auf eine einzige Weise) in eine in ihr abgeschlosseneüberall n-dimensionale und eine höchstens {n -\)-dimensionale Mengespalten 28 °).

Eine in allen ihren Punkten n- dimensionale Menge heißt homogenn- dimensional. Das Analogon des Satzes XIV besagt:

Satz XlVa. Die separable n-dimensionale Menge M enthält einehomogen n-dimensionale Teilmenge, wofern die Menge aller Punkte von M,in denen M n- dimensional ist, von zweiter Kategorie im Sinne von Baireist oder mit ihrem Hausdorff sehen Residuum nicht übereinstimmt.

Desgleichen sind die Menger sehen Überdeckbarkeitsbedingungen 28 ) hin-reichend dafür, daß eine n-dimensionale Menge eine homogen n-dimen-sionale Teilmenge enthält.

Ferner ergibt die Anwendung des Theorems III:

Theorem VII. Jeder Punkt, in dem die kompakte Menge M minde-stens n- dimensional ist, ist in einem Kontinuum enthalten, in dessensämtlichen Punkten die Menge M mindestens n-dimensional ist.

aso) Fü r kompakte abgeschlossene Mengen wurde dieses Theorem von Menger(Monatshefte f. Math. u. Phys. 34, S. 144) und von Urysohn (Fund. Math. 8, S. 270)bewiesen.

- I} ) Vgl. 21 ).