Normalbereiche und Dimensionstheorie.
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Endlich gilt in Verallgemeinerung eines von Menger und Urysohn fürkompakte abgeschlossene Mengen bewiesenen Satzes als Analogon vonSatz V :
Satz Va. Damit die kompakte Menge M höchstens n - dimensionalsei, ist nohcendig und hinreichend, daß sich M in endlich viele beliebigkleine in M abgeschlossene Mengen spalten lasse, die zu je zweien höch-stens (n — \)-dimensionale Durchschnitte haben.
Betrachten wir zum Abschluß die dimensionstheoretische Fassung vonSatz IVa:
Damit eine separable Menge M höchstens n- dimensional sei, ist not-ivendig und hinreichend, daß je zwei jremde in M abgeschlossene MengenN 1 undN i durch eine höchstens in — \)-dimensionale Menge in M getrenntiverden können.
Dabei nennen wir in üblicher Weise die Mengen N 1 und N„ in M durchdie abgeschlossene Menge P getrennt, wenn, M= M i + 31 2 , M-M 1 -M„ < P,N, < M í — P, N, <M^-P gilt.
Bekanntlich hat Brouwer den im Fréchetschen Sinne „normalen"Mengen M einen natürlichen Dimensionsgrad <1 n zugeschrieben, wenn jezwei zueinander fremde, in M abgeschlossene Teilmengen von M durch einehöchstens (n — l)-dimensionale Teilmenge von M getrennt werden können,— hat als nulldimensional die diskontinuierlichen Mengen bezeichnet, —und kürzlich für kompakte und kondensierte Räume die Äquivalenz dernatürlichen und der M.-U.schen (Menger-Urysohnschen) Definition nachge-wiesen 30 ). Satz IV b spricht diese Äquivalenz hinsichtlich beliebiger separable!'Räume aus, wofern, wie Menger und ich bemerkt haben, für die nicht halb-kompakten Räume die Brouwersche Definition der nulldimensionalen Mengendurch die M.-U.sche Definition ersetzt wird, die gleichfalls im Geiste derBrouwerschen Definition in folgender Form ausgesprochen werden kann:Nulldimensional heißt eine Menge M, wenn je zwei fremde, in M abge-schlossene Mengen durch die leere Menge getrennt werden können 31 ).
30 ) Vgl. Die Äquivalenz folgt auch unmittelbar aus dem bei Menger, Monats-hefte f. Math. u. Phys. 34, S. 150, 151, befindlichen Satz VI. Für kompakte Räumefindet sich die Eigenschaft, sowie ihre Beweis, explizite bei Urysohn, Fund. Math. 8,S. 328.
31 ) Die obige Bemerkung gründet sich darauf, daß im Bereich der halbkompaktenFa die diskontinuierlichen und die nulldimensionalen Mengen identisch sind [vgl. s *)]daß aber unter den nicht-halbkompakten diskontinuierlichen Mengen solche von be-liebig hoher Dimension im M.-U.sehen Sinn existieren. Am einfachsten ergibt sich diesaus Theorem V im Verein mit dem Mazurkiewiczschen Satz, daß jedes Kontinuumeines R„ Summe von zwei diskontinuierlichen Mengen ist (Bull. Ac. Crac. 1913, S. 76).
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