Normalbereiche und Dimensionstheorie.

741

im Raum besitzt) und für die Mengen, welche Summe von abzählbar vielenkompakten Mengen sind, die wir im Anschluß an K. Menger 5 ) als halb-kompakt bezeichnen 1 "" 1 ). In Anlehnung an Menger 0 ) bezeichnen wir zudiesem Zweck als Nullfolge von Mengen eine endliche oder abzählbareFolge von Mengen, deren Durchmesser, falls die Folge unendlich ist,gegen Null konvergieren. Es gilt dann

Satz V. Damit die kompakte {bzw. halbkompakte) Menge M null-dimensional sei, ist notwendig und hinreichend, daß M für jede Zahle>0 Summe sei von endlich vielen (bzw. von einer Nullfolge von)zueinander fremden, in M abgeschlossenen Mengen, deren Durchmesser< e sind.

Wir beweisen zunächst die Notwendigkeit der Bedingung 7 ). Ist Meine kompakte nulldimensionale Menge und e > 0 gegeben, dann existiertzu jedem Punkt von M eine Umgebung mit Durchmesser < e und mitzu M fremder Begrenzung. Nach dem Boreischen Theorem ist M schonin der Summe von endlich vielen unter diesen Umgebungen, etwa vonU 1 , U 2 , ..., U n , enthalten. Setzen wir A 1 =U 1 -M und A m = [U m — (U 1 +Z7 2 + ... + Ï7 m _i)] • Jtí (ra = 2,3...), dann sind die Mengen A m , wie manleicht sieht, in M abgeschlossen und zueinander fremd, und es gilt M = A t+ Ä, + ... + A n .

co

Sei nun M eine halbkompakte nulldimensionale Menge, also M= M n ,

n=1

wo die M n kompakte nulldimensionale Mengen sind, und sei e > 0 vor-gelegt. Die Menge M n ist nach dem eben Bewiesenen enthalten in derSumme von endlich vielen Umgebungen, deren Begrenzungen zu M fremdund deren Durchmesser < ~ sind. Die für alle Mengen M n auf dieseWeise definierten Umgebungen kann man in eine Folge {U { } von Um-gebungen mit gegen Null konvergierenden Durchmessern anordnen. Setzenwir dann A m = [U m — (U t . + U m _ i)] • M, so genügen die

Mengen A m offenbar den Forderungen von Satz V.

ö ) Vgl. Menger, Monatshefte f. Math. u. Phys. 34 (1924), S. 148.

5a ) (Zusatz bei der Korrektur): Für die Gültigkeit der folgenden Charak-terisierungen ist natürlich nur erforderlich, daß die Menge in irgendeinem sie um-fassenden metrischen Raum kompakt bzw. halbkompakt sei. Für das letztere istnach Hausdorff (Mengenlehre, 1914, S. 311) notwendig und hinreichend, daß dieMenge total beschränkt (d. h. für jedes «>0 Summe von endlich vielen Mengen mitDurchmessern < e) bzw. Summe von abzählbar vielen total beschränkten Mengen sei.

e ) Vgl. Menger, Wiener Ber. 133 (1924), S. 421.

') Dieser Beweis entsteht durch Kombination des Satzes 11 mit einem vonMenger oft verwendeten Verfahren. — (Zusatz bei der Korrektur): Der Beweisvon Satz V läßt sich sehr einfach auch ohne Benützung von Satz II auf Grund dertotalen Beschränktheit von M erbringen.