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W. Hurewicz.

Zum Beweis der zweiten Hälfte bezeichnen wir für jede natürliche

Zahl k mit N k die Menge aller Punkte von N, deren Abstand vom Kom-

1 °°

plement CU der Menge V > -r ist. Es ist dann N = £ N k . Zu jeder

. * =1

Menge N k existiert nach dem bereits bewiesenen Teil von Satz III eine

Umgebung V k mit zu M fremder Begrenzung, so daß N k < F, c < U [N]

CO

gilt. Setzen wir V = JS V k , dann ist F eine Umgebung von N und es

k= 1

gilt V < U. Die Begrenzung von F ist zu M fremd. Denn angenommen,p wäre ein Punkt von M auf der Begrenzung von F. Da N in N + Mabgeschlossen ist und p außerhalb N liegt, gibt es eine natürliche Zahl m

1 . 33

derart, daß der Abstand zwischen p und N > — ist. Setzen wir Vm = 5] V i ;

/ i\ m . _

dann gehört wegen F,*< U [N ; — J der Punkt p nicht zu V 7 *. Mit Rück-sicht auf V— V 1 + F 2 + • • • + müßte daher p auf der Be-grenzung einer der Mengen V t , F 2 ,.. V m _ 1 liegen, was der Voraus-setzung widerspricht, daß die Begrenzungen dieser Mengen zu M fremdsind. Damit ist auch der zweite Teil von Satz III bewiesen.

Wir können nunmehr die nulldimensionalen Mengen durch das Ver-halten der relativ abgeschlossenen Mengen charakterisieren.

Satz IV. Damit die separable Menge M nulldimensional sei, istnotwendig und hinreichend, daß es zu je zwei zueinander fremden, in Mabgeschlossenen Mengen N 1 und A 7 „ zwei ebensolche Mengen gebe, so daß

N ± < M t , N„ < M„ M 1 + M i = M

gilt.

Die Bedingung ist notwendig. Seien nämlich N 1 und zwei zu-einander fremde, in der nulldimensionalen Menge M abgeschlossene Mengen.Das Komplement C(N„) von iS r „ ist eine Umgebung von N t . NachSatz III existiert also eine Umgebung U < C(N S ) von N x mit zu Mfremder Begrenzung. Die Mengen M 1 = U- M und M,, — M — M l sindzueinander fremd, in M abgeschlossen und es gilt N 1 < M x , N„ < i¥ 2 .

Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen nämlich, sie sei erfülltund es sei p ein beliebiger Punkt von M, V eine Umgebung von p. DieMengen (p) und M—U sind zueinander fremd und in M abgeschlossen.Es existiert also eine Zerspaltung von M in zwei in M abgeschlosseneMengen M x und M„, so daß ( p)<M 1 <U ist. Folglich ist M null-dimensional.

Wir bringen nun eine metrische Charakterisierung durch Zerlegungseigen-schaften für die beiden mit Rücksicht auf Euklidische Räume wichtigstenKlassen separabler nulldimensionaler Mengen, nämlich für die kompaktenMengen (d. s. jene, von denen jede unendliche Teilmenge einen Häufungspunkt