Normalbereiche und Dimensionstheorie.

739

Sind die Mengen M 1 und M„ getrennt, dann gibt es eine offene Menge Uderart, daß M i <U und M. 2 -U = 0 ist.

Satz II. 1st M eine separable nulldimensionale Menge, so ziehtsich auf jeden Punkt des Raumes eine Folge von Umgebungen, deren Be-grenzungen zu M fremd sind, zusammen, m. a. W. eine separable null-dimensionale Menge bleibt auch nach Hinzufügung eines beliebigen ein-zelnen Punktes nulldimensional.

Sei p ein beliebiger Punkt des Raumes und e > 0 vorgegeben. Wirbezeichnen mit U(p;e) die Menge aller Punkte, die von p einen Ab-stand <e haben, und wollen nachweisen: Es existiert eine UmgebungF < U(p; e ) von p, deren Begrenzung zu M fremd ist. Nach Satz I ist MSumme einer Folge {Z7 n } von in M offenen paarweise fremden Mengen

mit Durchmessern < Sei {U*} die Teilfolge von {U n }, bestehendaus allen denjenigen U n , die in U (p; enthalten sind. Wir setzeny* = yjl 7*. Sowohl F * als auch M — V * sind (als Summen von in M

« = 1

offenen Mengen) in M offen, diese beiden Mengen liegen daher getrennt.Da p nicht in M — F* liegt und V* < u (p; -Ç) gilt, sind, wenn wirmit CU(p;e) das Komplement von U(p;e) bezeichnen, auch die Mengen(p) - ¡- F* und (M — F*) + CU(p; e) getrennt. Dann existiert aber nachdem Tietzeschen Satze eine Umgebung F von p, so daß gilt:

(*) V* < V < U(p-, e), V- (M — F*) = 0.

Aus (*) folgt (F- V)-M = (V- F)-F* + (F— V)-(M — F*) = 0, d. h.die Begrenzung von F ist zu M fremd. Damit ist Satz II bewiesen.

Zufolge Satz II existieren für alle Punkte des Raumes beliebig kleineUmgebungen, deren Begrenzung zur nulldimensionalen Menge M fremdsind. Wir wollen nun zeigen, daß auch zu den Mengen des Raumes be-liebig kleine Umgebungen existieren, deren Begrenzungen zu M fremd sind.Unter einer Umgebung U(N; e) der Menge N verstehen wir dabei dieMenge aller Punkte, die von N einen Abstand < e haben; als Umgebungvon N schlechthin bezeichnen wir jede N enthaltende offene Menge.

Satz III. Ist M eine separable nulldimensionale Menge, so gibt eszu jeder Menge N und zu jeder reellen Zahl e > 0 eine Umgebung von NU(N)< U(N, e ), deren Begrenzung zu M fremd ist. Ist die Menge Nin N + M abgeschlossen, dann gibt es zu jeder Umgebung U von N eineUmgebung V < U von N, deren Begrenzung zu M fremd ist.

Zum Beweis der ersten Hälfte von Satz III hat man bloß im Be-weis von Satz II den Punkt p durch die Menge N zu ersetzen.