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W. Hurewicz.

existiert, so daß eine der beiden Mengen den Punkt p enthält und in Uenthalten ist.

Aus diesen Definitionen folgt unmittelbar, daß jeder Teil einer null-dimensionalen Menge nulldimensional ist. Wir charakterisieren fernerdie nulldimensionalen Mengen durch eine Zerlegungseigenschaft, die wirmehrmals verwenden werden. Dabei beschränken wir uns, wie im folgen-den überhaupt, auf separable Mengen, d. h. auf Mengen, in denen eineabzählbare Teilmenge dicht liegt.

Satz I. Damit eine separable Menge M nulldimensional sei, istnotwendig und hinreichend, daß M für jede positive Zahl e in abzählbarviele paarweise fremde, in M offene Mengen mit Durchmessern < e zer-legt werden könne.

Die Bedingung ist notwendig. Sei nämlich M eine nulldimensionaleseparable Menge und sei e > 0 gegeben. Zu jedem Punkt p von M exi-stiert eine p enthaltende Teilmenge V(p) von M, deren Begrenzung im Mleer und deren Durchmesser < e ist. Die Mengen V(p) und M — F(p) sindin M offen. Es gibt nach dem verallgemeinerten Boreischen Theorem unterden Mengen V(p) abzählbar viele, etwa die Mengen V x , V. 2 , ..., V n , ...,deren Summe M ist. Setzen wir dann TJ 1 = V 1 und für n > 1 U n — V n •(Ii—T^)- (M — 7 a )... (M — dann sind die Mengen U n , als

Durchschnitte endlich vieler in M offener Mengen, in M offen; sie sindferner paarweise fremd und ihre Durchmesser sind < e und ihre Summe ist M.

Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen nämlich, M könne fürjedes s > 0 in eine Folge { U n } von in M offenen Mengen mit Durch-messern < e gespalten werden; dann sind auch die Mengen M— U n , alsSummen von in M offenen Mengen, in M offen. Daher sind die Begren-zungen der U n in M leer, und es existiert mithin zu jedem Punkt p von Mund zu jedem e > 0 eine Teilmenge < e von M, die p enthält und derenBegrenzung in M leer ist. Also ist M nulldimensional.

Per definitionem wird für eine nulldimensionale Menge bloß gefor-dert, daß sich auf jeden ihrer Punkte eine Folge von Relativumgebungenmit leeren Relativbegrenzungen zusammenziehe, oder, was, wie man leichteinsieht, auf dasselbe hinauskommt, daß sich auf jeden ihrer Punkte eineFolge von Umgebungen mit zur Menge fremden Begrenzungen zusammen-ziehe. Daß dasselbe für jeden beliebigen Punkt des Raumes gilt, wollenwir nunmehr beweisen. Wir nennen dabei in üblicher Weise zwei Mengenil/j und il£, getrennt, wenn die Beziehung besteht M 1 ■M^-\-M 1 -M„ = 0, undstützen uns, wie auch mehrmals im folgenden, auf den Tietzeschen Satz 4a ) :

* a ) Vgl. Tietze, Math. Annalen 88, S. 310. — Als Menge U des Satzes kannbeispielsweise die Menge aller Punkte genommen werden, deren Abstand von M Lkleiner ist als von Mo ■