W. Hurewicz. Normalbereiohe und Dimensionstheorie.

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Einen Bereich von Punktmengen, welcher diesen beiden Bedingungengenügt, bezeichnen wir kurz als Normalbereich, und ein Hauptresultat dervorliegenden Arbeit besagt, daß der nach der obigen Vorschrift aus einemNormalbereich -JÎ abgeleitete Bereich Tí* ebenfalls ein Normalbereich ist.

Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir eingehend die null-dimensionalen Mengen, den Bereich 9?*' jener Mengen also, der nach dererwähnten Vorschrift hervorgeht aus dem Bereich 9Î, welcher bloß dieleere Menge enthält.

Die allgemeinen Überlegungen des zweiten Teiles gestatten dann,jeden für die nulldimensionalen Mengen bewiesenen Satz mutatis mutandisfür beliebige Normalbereiche auszusprechen, insbesondere für die separa-blen höchstens w-dimensionalen Mengen, welche gleichfalls einen Normal-bereich bilden. Von den wichtigsten dimensionstheoretischen Resultaten,die wir auf diese Weise erlangen, seien hier die folgenden hervorgehoben:Eine separable Menge, die Summe ist von abzählbar vielen in ihr abge-schlossenen höchstens w- dimension alen Mengen, ist höchstens tí -dimen-sional. Eine separable Menge ist n- dimensional dann und nur dann, wennsie Summe ist von n + 1, aber nicht von weniger nulldimensionalenMengen. Jeder Punkt einer kompakten Menge, in welchem dieselbe eineDimension n hat, liegt in einem Kontinuum von Punkten, in welchendie Menge eine Dimension ¡> n liât. Jede 7i-dimensionale separable Mengeenthält eine in ihr abgeschlossene Menge, deren jeder relativ offene Teiln- dimensional ist.

I. Teil.

Über die nulldimensionalen Mengen.

Einige Eigenschaften der nulldimensionalen Mengen.

Die nicht leere Menge M eines metrischen Raumes heißt nulldimensio-nal, wenn auf jeden Punkt von M eine Folge von Teilmengen von M sichzusammenzieht :s ), deren Begrenzungen in M 4 ) leer sind. Desgleichen kannman zur Definition der nulldimensionalen Mengen die Forderung benützen,daß zu jedem Punkt p von M und zu jeder Umgebung U von p eine Zerlegungvon M in zwei zueinander fremde und in M abgeschlossene Mengen

3 ) Man sagt, eine Mengenfolge { M n } zieht sich auf den Punkt p (auf dieMenge M) zusammen, wenn p ( M ) in allen M n enthalten ist und wenn in jeder Um-gebung von p ( M) fast alle M n enthalten sind.

4 ) Mit M bezeichnet man die abgeschlossene Hülle von M . Ist M Teilmenge derMenge A, dann bezeichnet man als Begrenzung von M in A die Menge M- ( A — AI) 4-(A-M)-M.