Normalfoereiche und Dimensionstheorie.

Von

Witold Hurewicz in Amsterdam.

Einleitung.

Die folgende Arbeit schließt sich an die Menger-Urysohnsche Dimen-sionstheorie 1 ). Der Dimensionsbegriff dieser beiden Autoren, der (wie inder vorliegenden Arbeit nachgewiesen wird) für alle separablen metrischenRäume mit dem „natürlichen" Dimensionsbegriff von Brouwer 2 ) im wesent-lichen identisch ist, kann heute bereits als klassisch bezeichnet werden.Wir knüpfen insbesondere an die Formulierung dieses Begriffes durchK. Menger, welcher einen Raum höchstens n- dimensional nennt, falls zujedem Punkt des Raumes beliebig kleine Umgebungen mit höchstens(n — 1 )-dimensionalen Begrenzungen existieren, wobei die leere Mengeals (—1 )- dimensional bezeichnet wird.

In Anlehnung an diesen Gedanken legen wir allgemein einen Be-reich 9Î von Punktmengen zugrunde und bezeichnen mit 9?* den Bereichaller Punktmengen, auf deren sämtliche Punkte sich Relativumgebungenzusammenziehen, deren Begrenzungen Mengen des Bereiches 9Î sind. Wiruntersuchen dann die Beziehung zwischen den beiden Bereichen 91 und 9i *.Der Bereich 9?, von dem wir ausgehen, wird dabei folgenden Bedingungenunterworfen.

1. Ist M eine Menge aus 9?, so auch jede Teilmenge von M.

2. Ist M Summe von abzählbar vielen in M abgeschlossenen Mengen,die alle zum Bereich 9 1 gehören, dann gehört auch M zum Bereich 9Ï.

Menger, Über die Dimension von Punktmengen, Monatshefte f. Math. u. Phys.33 und 34, Proc. Ac. Amst. 27 und 29 (ältere Arbeiten), sowie den Bericht überdie Dimensionstheorie, Jahresber. d. deutschen Math.-Vereinigung 35. — Urysohn,Comptes Rendus 175, sowie das dem Verfasser bei der Abfassung der vorliegendenArbeit noch unbekannte Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, Fund. Math. 7und 8.

'-) Brouwer, Journ. f. d. reine u. angew. Math. 142, sowie Proc. Ac. Amst. 26, 27.