Primäre Ringe.

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vermittelst der Homomorphie ohne weiteres auf primäre Ringe überträgt.Wir können also auch hier einen „Transzendenzgrad" als die gemeinsameMächtigkeit aller erzeugenden irreduziblen Systeme definieren; der Tran-szendenzgrad von © in bezug auf ist gleich dem von £ in bezug auf

Haben © x und ©., gleichen Transzendenzgrad r, so sind sie bezüg-lich 9î äquivalent; für r = 1 ist dies unmittelbar klar, allgemein folgt esdurch transfinite Induktion. Sind umgekehrt <B 1 und © 3 mit den Tran-szendenzgraden x 1 und r 2 äquivalent bezüglich Di, so sind offenbar undund -T 2 bezüglich P äquivalent, also auch 2 1 und äquivalent bezüg-lich £ und die Körpertheorie ergibt t 1 = r,,. Also :

Zwei rein transzendente Erweiterungen von 91 sind dann und nurdann bezüglich 9v äquivalent, wenn sie gleichen Transzendenzgrad haben.

Auch diese Entwicklungen bleiben unter Voraussetzung eines speziellprimären Grundbereiches bestehen. Die Begriffe Oberring und Adjunktionsind so zu verstehen, wie in 1. definiert; dann kann die Definition destotal transzendenten Elementes umgeändert bleiben und IV, V, sowie dasSchlußergebnis über die Äquivalenz gelten auch hier, wie man sich leichtüberzeugt, wenn man beachtet, daß man die jeweiligen Oberringe bekommt,wenn man zunächst im Sinne der allgemein primären Ringe erweitert unddann zum Quotientenring übergeht.

Berichtigung

zu dem Aufsatze von P. E. Böhmer „Über die Transzendenz gewisser dyadischerBrüche", Math. Annalen 96, S. 367—377.

S. 371 Z. 12 v. o. lies:

(Eingegangen am 15. 5. 1926.)