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R. Hölzer.

Daß diese letzteren Elemente ausgeschlossen sind, ist natürlich klar,denn sie genügen Gleichungen der Form xe = 0 bzw. (x — a) c ' — 0. Ista ein von diesen verschiedenes Element und 9î, 9R 1} .. 9î a , ..© einSystem von Ringen nach Definition, ferner 9t r der erste Ring, in dem avorkommt, so existiert offenbar ein vorangehender Ring 9t r -i- Für. durchAdjunktion eines total transzendenten Elementes entstehende Erweite-rungen. d. h. für den Polynombereich einer Unbestimmten, ergibt sich dieBehauptung aber wie folgt. Ist f{x) eine Funktion positiven Grades, sosei etwa a 0 -f- a x f(x) + ... + a n (f(x)) = 0 eine Gleichung niedrigstenGrades, der f(x) genügt (a { aus 9t, a o 4=0); hieraus würde folgen:f(x) (a 1 -f- a 3 f(x) + ... -f a n {f(x)) n ^ 1 = a„. Da f(x) in einem geeig-neten Erweiterungsring eine Nullstelle besitzt (man braucht nur zum Rest-klassenring nach dem Hauptideal (f{x)) überzugehen), ist diese Beziehungunmöglich.

V. Ist { ... a„ ... } ein wohlgeordnetes System von Elementen auseinem Oberring ©, und a„ total transzendent in bezug auf den durch Ad-junktion seines Abschnittes zu 9t hervorgehenden Ring, so ist a„ auchtotal transzendent in bezug auf den Ring, der aus 9t durch Adjunktionaller übrigen a T entsteht. Der Beweis kann wörtlich wie in der Körper-theorie geführt werden 15 ).

Ein System S von Elementen aus © heiße irreduzibel, wenn jedesseiner Elemente total transzendent ist in bezug auf den durch Adjunktionder übrigen Elemente entstehenden Ring. Wegen V ist ein Oberring dannund nur dann rein transzendent, wenn er durch Adjunktion eines irredu-ziblen Systems erhalten werden kann. Ist nämlich © rein transzendentund 9Î, 9t i; ..., 9t ,r, ..., © ein System von Ringen nach Definition, be-deutet ferner S das System der primitiven Elemente derjenigen Ringe 9t„,die unmittelbar vorangehende besitzen, so ist 9t(/S)=© und S nach Virreduzibel; ist umgekehrt S irreduzibel, so kann man vermittelst desWohlordnungssatzes leicht ein definitionsgemäßes System von Ringen für9 i(S) aufstellen.

Zwei verschiedene Elemente des irreduziblen Systems S können offen-bar nicht nach dem Ideal aller Nullteiler von © kongruent sein; daherhaben S nnd S stets gleiche Mächtigkeit, wenn S das homomorphe Systemin Z bedeutet. Ist ferner S irreduzibel in bezug auf 9Î, so ist, wie mansich leicht überzeugt, S irreduzibel in bezug auf St, und ist S erzeugen-des irreduzibles System von ©, d.h. 9t($) = ©, so ist auch $($) = £.Bei Körpererweiterungen haben nach Steinitz alle erzeugenden irreduziblenSysteme gleiche Mächtigkeit; aus dem eben Bemerkten folgt, daß sich dies

") Vgl. etwa Steinitz.