Primäre Ringe.

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indem man 1. in 9t^ ein Ideal q x zweiter Art Null setzt, 9t' = 9t / jq 1 ;2. in 9t/ ein nicht reguläres Ideal erster Art q 2 , 3i" = 9^' | q 3 ; 3. in îft"ein reguläres Ideal erster Art q 3 , @ = ©^"|q 3 .

Da man jeden beliebigen Oberring von 9t aus endlichen Oberringenaufbauen kann, so reichen also die beiden angegebenen Typen von Idealenzur Beschreibung dieser allgemeinsten Erweiterung aus. Hiermit ist diewesentliche Frage aufgeworfen, wann zwei reguläre Erweiterungen bezüglich9t äquivalent sind, d. h. wie weit man aus der Definition der Ideale ersterArt auf Isomorphie ihrer Restklassenringe schließen kann.

Diese Betrachtungen bleiben gültig, wenn man als Grundbereich 9Îeinen speziellen primären Ring wählt. Unter einem Oberring © von 9tverstehen wir dann einen solchen Erweiterungsring von 9Ï , der ebenfallsspeziell primär ist. Ist S ein System von Elementen aus ©, so bedeutet9 l(S) den Durchschnitt aller in © gelegenen Oberringe von 9t, die alleElemente von S enthalten; 9t ( /S ) ist wieder Oberring. Ein reguläresIdeal a in 9^ ist dann und nur dann Nullstellenideal, wenn es primärist, kein Element aus 9t enthält und die Dimension Null hat; denn dannhat das zugehörige Primideal keinen von o verschiedenen echten Teilerund im Restklassenring nach a werden alle regulären Elemente Einheiten.Definition 1 und 2, sowie I und II und die Zerfällung der algebraischenErweiterungen gelten auch hier. Die Definition der regulär transzendentenErweiterungen gestaltet sich etwas anders. Man betrachtet hier zweck-mäßig nicht Nullstellenideale in 9^, sondern Nullteilerideale u im Quotienten-ring SR* von 9t ; - nach p*; u heiße dann ganz analog Ideal erster Art,wenn jeder Nullteiler von 9L* modulo u einem Element aus 9t kongruentist. Modifiziert man Definition 3 in diesem Sinne, so bleibt III und dasobige Schlußresultat bestehen.

2. Ich zeige noch kurz, wie sich im Falle rein transzendenter Er-weiterungen die Begriffe der Körpertheorie direkt übertragen.

a aus © heiße total transzendent, wenn ct a = (0); © heiße rein tran-szendente Erweiterung von 9t, wenn es ein wohlgeordnetes System vonOberringen gibt: 9t, 9t 15 9t 3 , .. ., 9t„, ..., ©, derart, daß jeder Ring durchAdjunktion eines total transzendenten Elementes aus dem vorangehendenhervorgeht oder (falls ein unmittelbar vorangehender nicht existiert) dieVereinigungsmenge der vorangehenden Ringe ist. Analog der Körper-theorie gilt:

IV. Ist © rein transzendente Erweiterung von 9t, so ist jedes Ele-ment von © total transzendent ; ausgenommen sind nur die Nullteiler unddiejenigen Elemente, die sich als Summe eines regulären Elementes aus 9tund eines Nullteilers darstellen lassen.