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R. Hölzer.
beliebige regulär algebraische Erweiterung von 9Î, so ergibt sich dieseTatsache leicht durch transfinite Induktion.
Ist umgekehrt © eine algebraische Erweiterung von 9t, die keineneuen Nullteiler enthält, so sei a ein Element aus ©, ©' ein beliebigerZwischenring zwischen 9Î und ©. Dann ist a regulär algebraisch in bezugauf ©'; denn da alle Nullteiler von ©'(a) bereits in 9Ï liegen, so müssendie Restklassen, in die das zum Nullstellenideal gehörige Primideal zer-fällt, durch Elemente aus 3i repräsentierbar sein. Hiernach kann manmit Hilfe des Wohlordnungssatzes eine verlangte Kette von Ringen leichtkonstruieren.
Jede algebraische Erweiterung © von 9Ï zerfällt eindeutig in eineNullteilererweiterung (durch Adjunktion von Nullteilern entstehende) undeine darauf folgende regulär algebraische Erweiterung. In der Tat brauchtman offenbar nur alle Nullteiler von © zu 9v zu adjungieren, um einesolche Zerlegung zu erhalten; daß es keine andere derartige Zerlegung gibt,ist ebenfalls evident.
Definition 3. Ein transzendentes Element a aus © heiße regulärtranszendent in bezug auf 9Î, wenn n„ Ideal erster Art ist.
Entsprechend heiße ein Oberring © regulär transzendente Erweite-rung von SR, wenn es ein wohlgeordnetes System von Ringen gibt:9Î, 9îj, 9Î 2 , ..., 9î a , ..., © derart, daß jeder Ring durch Adjunktion einesregulär transzendenten Elementes aus dem vorangehenden hervorgeht oder(falls ein unmittelbar vorangehender nicht existiert) die Vereinigungsmengeder vorangehenden Ringe ist.
III. Der Oberring © ist dann und nur dann regulär transzendenteErweiterung von 9Ï, ivenn er transzendent ist und keine neuen Nullteilerenthält.
Die Richtigkeit ergibt sich genau wie bei II. Ebenso zerfällt, wennS rein transzendente Erweiterung von Sí ist, © eindeutig in eine Null-teilererweiterung und eine darauf folgende regulär transzendente.
Ein beliebiger Oberring © von 9Î zerfällt der Reihe nach in 1. eineNullteilererweiterung, 2. eine darauf folgende regulär transzendente, 3. einedarauf folgende regulär algebraische Erweiterung. Man braucht eben nuralle Nullteiler von © zu 9Î zu adjungieren und dann I zu benutzen, in-dem man beachtet, daß jede Erweiterung eines Körpers in eine rein tran-szendente und eine darauf folgende algebraische zerfällt. Lassen sich diesedrei Stufen jeweils durch Adjunktion endlich vieler Elemente erreichen,so wollen wir © einen endlichen Oberring nennen. Dann gilt nach demV orangegangenen:
Ein beliebiger endlicher Oberring © des primären Ringes 9Ï entsteht,