Primäre Ringe.
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eines regulären Elementes, die also von Null verschieden ist, im Null-stellenideal a liegen würde; ferner wird p gleich ä, wenn p und 5 die zu-gehörigen Ideale in P ; . sind (§ 1). Ein nichtreguläres Nullstellenideal uaus heiße Ideal erster Art , wenn jedes Element seines zugehörigenPrimideals )p* modulo u einem Element aus 9t kongruent ist.
Schließlich verstehen wir unter einem Ideal zweiter Art u ein Nullstellen-ideal, das alle Potenzprodukte der x i von einer gewissen Dimension anenthält. 9t_ | u entsteht durch Adjunktion von Nullteilern, und umgekehrtist das Nullstellenideal eines Systems von Nullteilern stets ein Idealdieser Art.
Definition 1. Ein Element a von © heißt algebraisch in bezugauf 9t, wenn a a regulär ist, sonst transzendent.
© heißt algebraisch in bezug auf 9t, wenn alle Elemente es sind,sonst transzendent.
P sei der in § 1 erklärte, 9Î zugeordnete Ring, ebenso ©, 2, ädie dort erklärten Bezeichnungen.
I. a aus © ist dann und nur dann algebraisch in bezug auf 9Î,wenn a algebraisch in bezug auf ÍÍ' ist.
Die Notwendigkeit ist evident. Ist umgekehrt ä algebraisch in bezugauf so genügt es einem Polynom f(x) mit Koeffizienten aus S 1 . Offen-bar gibt es in $ ein Element p« =f= 0, so daß y.-f(x) = g(x) zu 2 ge-hört. Ist g(x) ein Polynom aus 9^, das g (x) zugeordnet ist, so istg(a) — q ein Nullteiler aus ©. Verschwindet von diesem etwa die £>-tePotenz, so enthält a o die reguläre Funktion ( g{x)) e .
Definition 2. a aus © heißt regulär algebraisch in bezug auf 9t,wenn a a reguläres Ideal erster Art ist.
Einen Oberring © nennen wir regulär algebraische Erweiterung von 9t,wenn es ein wohlgeordnetes System von Ringen gibt : 9t, 9t 2 , 9t„,..., 9t„,..., ©derart, daß jeder Ring durch Adjunktion eines regulär algebraischen Ele-mentes aus dem vorangehenden hervorgeht oder (falls ein unmittelbarvorangehender nicht existiert) die Vereinigungsmenge der vorangehendenRinge ist.
II. Der Oberring © ist dann und nur dann regulär algebraischeErweiterung von 9Î, wenn er algebraisch ist und keine neuen Nullteilerenthält, d. h. alle seine Nullteiler schon in 9Î liegen.
Ist zunächst a regulär algebraisch in bezug auf 9t, so ist 9t (a) ~ 9t / .| a aund die Nullteiler von 9t(a) sind diejenigen Elemente, die den aus demzugehörigen Primideal p 0 hervorgehenden Restldassen entsprechen; diesekönnen aber, da a a Ideal erster Art ist, durch Elemente aus 9t repräsen-tiert werden, so daß also 9t(a) keine neuen Nullteiler enthält. Ist © eine
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