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R. Hölzer.

der Nenner der Koeffizienten von h i (x)); offenbar genügt es, y. — ITx.zu wählen.

3. Es entsteht die Frage, ob die Resultate von 1. sich auf den Fallhöherer Dimension ausdehnen lassen. Daß dies unmöglich ist, zeigen diefolgenden mir von W. Krull mitgeteilten Beispiele: Sei £ Körper, 9Î = ® (ß)mit cc° = 0, 9î^ = 9Ï [x, y\, y], a Ideal in di f , et zugehöriges

Ideal aus 1^.

1. ä = (x,ccy) ist nicht primär, da keine Potenz von y durch n teil-bar wird; S = (x) ist jedoch primär.

2. a — (x 2 , xy + ci, ax) 14 ) ist primär, dagegen a = (x 2 ,xy) nicht.

§ 3.

Erweiterungen primärer Ringe.

1. Unter einem Oberring © eines primären Ringes 9Î sei ein Er-weiterungsring verstanden, der ebenfalls primär ist. Ist S ein System vonElementen aus ©, so verstehen wir unter dem durch Adjunktion von Szu 9Î entstandenen Ring 9î($) den Durchschnitt aller in © gelegenenOberringe von 9Ï, die alle Elemente von S enthalten.

Ist a ein Ideal im Polynombereich 9^ von n Unbestimmten, so ver-steht man unter einer Nullstelle von a ein System 8 von n Elementenaus einem Oberring © derart, daß alle zu n gehörigen Polynome für Sverschwinden. Ist umgekehrt S ein System von Elementen aus ©, sobildet die Gesamtheit der Polynome in 9^, die für S verschwinden, einIdeal, das Nullstellenideal eis von S. Es ist stets: 9Î (S) ~ 9Ï^| cts.

Damit ein Ideal a aus 9Î^ Nullstellenideal sei (d. h. damit ein Ober-ring von 9Î existiert, der durch Adjunktion einer Nullstelle von a ent-steht), ist offenbar notwendig und hinreichend, daß es primär ist und keinElement aus 9Î enthält; denn dann ist 9^|a ein solcher Oberring.

Wir nennen ein Nullstellenideal a aus 9Î/- von der Dimension Null,wenn das aus ihm abgeleitete Ideal ä im Polynombereich mit Koeffizientenaus $ die Dimension Null hat; es ist dies identisch damit, daß jede Null-stelle von ñ aus lauter in bezug auf ÎÏ algebraischen Elementen besteht(vgl. Anmerkung 11 )).

Ein reguläres Nullstêllenideal der Dimension Null a aus 9^ heiße Idealerster Art, wenn jedes Element seines zugehörigen Primideals modulo aeinem Element aus 9Ï kongruent ist. Es folgt dann, daß jedes Elementvon p modulo a einem Nullteiler aus 9i kongruent ist, da sonst eine Potenz

Man bestätigt dies etwa daraus, daß jedes Element aus Dfy modulo a eineDarstellung zuläßt: f (y) + ag (y) + cx , wo f und g Polynome, c ein Element aus