Primäre Ringe.

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körper 13 ). Ist P ein beliebiger kommutativer Ring, 2 ein Quotientenringvon P (gemäß der Definition in § 1), und definiert man ausgezeichneteIdeale von P wie oben, so lautet der betreffende Satz:

Das System der ausgezeichneten Ideale von P und das System allerIdeale in 2 sind vollständige und isomorphe Idealkörper . Unter einemvollständigen Idealkörper ist dabei ein System von Idealen eines kommu-tativen Ringes verstanden, das neben zwei Idealen auch deren Produktund Quotient, neben beliebig vielen Idealen auch deren größten gemein-samen Teiler und kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches enthält; isomorphheißen zwei solche Idealkörper natürlich, wenn sie derart eineindeutig auf-einander bezogen werden können, daß dabei die eben genannten vier Ver-knüpfungen erhalten bleiben. Die Zuordnung des Satzes ist dabei so, daßdem ausgezeichneten Ideal nt von 9i ; - sein abgeleitetes Ideal m' in 9^'entspricht.

Nun ist klar, daß hieraus Satz 5 unmittelbar folgt. In der Tat istdif ein Quotientenring von 9t^; nämlich der durch das System aller regu-lären Elemente von 9Ï erzeugte. Sei m ein beliebiges ausgezeichnetesIdeal der Dimension Null von 9^, dann gibt es nach Satz 3 in 91^-' eineZerlegung: nt' = q^...q¿. Sind q ... q r die ausgezeichneten Ideale, dieden q/ vermöge der Isomorphic entsprechen, so ist also nt = q .. . q r .Die q f sind Ideale der Dimension Null und außerdem primär; wegenq i = [9î / -,q/] ist nämlich, wie man sich leicht überzeugt, | q f einemUnterring von 9i y ' ¡ q.' isomorph. Ferner kann es keine andere solche Dar-stellung von nt geben, da man sonst vermöge der Isomorphic einen Wider-spruch gegen die Eindeutigkeit der Darstellung in 9i ; ' bekäme.

Offenbar ist 9i^ selbst ausgezeichnetes Ideal und 9^' sein zugehöriges;da 9Î^' ein Einheitselement enthält, ist 9^' • tn' = nt' für jedes Ideal nt'in 9^' und die Isomorphie ergibt daher: 9t^nt = nt für jedes ausgezeich-nete Ideal m aus 9t^. Wir können also von Teilerfremdheit im Systemaller ausgezeichneten Ideale von 9 t ^ reden, und aus (q ¿ , q^) = 9^ für i 4= kfolgt (q^ q fc )=9ï^. Damit ist Satz 5 bewiesen.

Nennt man, im Falle n = 1, zwei Primfunktionen wesentlich ver-schieden, wenn sie sich nicht nur durch eine Einheit aus 9î' unterscheiden,so bleibt von Satz 4:

Zu jeder regulären Funktion f (x) in 9í^ gibt es ein reguläres Ele-ment v. aus 9t, derart, daß x-f(x) als Produkt von Primärfunktionendarstellbar ist, die zu wesentlich verschiedenen Primfunktionen gehören.

Ist nämlich f (x) = ?i 1 (x) ... h r (x) in 9^', so gibt es reguläre Ele-mente y.. aus 91, derart, daß x i -h i (x) zu 9^ gehört (z. B. das Produkt

la ) H. Grell, a. a. 0. § 6.Matheraatische Airaalen. 96.

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