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R. Hölzer.

In der Tat, ist n' = (f (x), u') ein solches Vielfaches, so ist f — À f.Aus der Voraussetzung folgt, daß f und f' denselben Grad haben müssen ;also ist X Einheitsfunktion und f=X~ 1 f'. Sind ferner f, und /j äqui-valent, f 1 = kf 2 , so folgt aus demselben Grunde, daß A Einheitsfunk-tion ist.

Ist nun f(x) vorgelegt, so zerlege man a=(f[x)) nach Satz 3:a = (Äj (x), q,)... (h r (x), q r ). Wird a' =' (Ä, («))... (h r (x)) gesetzt, soist a' Vielfaches von a und ä' = ä, also nach 1. a'=a. Aus(f(x)) = (h 1 (x)...h r (x)) folgt aber nach 2.: f(x) = e(x)-h 1 (x)...h r (x),wo e(x) Einheitsfunktion. Da ferner nach Voraussetzung h¡(x) und damith¡(x) primär und mit Ti i , h u auch h { (x), h k (x) teilerfremd, ist die Existenzder Zerlegung bewiesen. Die Eindeutigkeit (bis auf Einheitsfunktionen)folgt, wie man leicht mit Hilfe von 2. sieht, ebenfalls aus Sats 3.

2. Läßt man die Voraussetzung fallen, daß in 9Î jedes reguläre Ele-ment Einheit ist — setzt man also 9? als allgemeinen primären Ringvoraus — so bleibt nur ein geringer Teil der Resultate von 1. gültig.

Wir können hier eine entsprechende Zerlegung nicht mehr bei einembeliebigen Ideal der Dimension Null vornehmen, sondern nur noch beigewissen ^ausgezeichneten" Idealen. Um diese zu definieren, sei mit 9î'der eindeutig bestimmte speziell primäre Erweiterungsring von 9Ï be-zeichnet, der, wie in § 1 erklärt, durch Quotientenbildung entsteht. Dannhaben wir in 9^' einen Erweiterungsring von 9Ï^ vor uns, dessen Ideal-theorie wir nach 1. kennen. Wir nennen ein Ideal nt aus 9Î^ ausgezeichnet,wenn es in 3i / ' ein Ideal n gibt, so daß m gleich dem (mengentheoretischen)Durchschnitt von 9î^ mit n ist, in Zeichen: m = [9îp n]. Unter dem ausdem Ideal m von 9Î^ abgeleiteten Ideal nt' in 9fL' versteht man denDurchschnitt aller Ideale in 9L', die alle Elemente von m enthalten; istnt ausgezeichnet, so ist offenbar m = [9^, nt']. Wir legen ferner demausgezeichneten Ideal m die Dimension Null bei, wenn nt' die DimensionNull hat; da schließlich, wie weiter unten gezeigt wird, für jedes aus-gezeichnete Ideal m gilt: 9î ^-m = nt, so darf man zwei ausgezeichneteIdeale nt,, ttt 2 innerhalb des Systems aller ausgezeichneten Ideale teiler-fremd nennen, falls ( nt,, nt 2 ) = 9^. Es gilt nun

Satz 5. In 9^ läßt sich jedes ausgezeichnete Ideal der DimensionNull eindeutig darstellen als Produkt von ausgezeichneten Primäridealender Dimension Null; die Komponenten sind paarweise teilerfremd inner-halb des Systems aller ausgezeichneten Ideale.

Dieser Satz, der sich auch (wenigstens zum größten Teil) direkt mitunseren Hilfsmitteln beweisen läßt, folgt, wie mir H. Grell später mit-teilte, unmittelbar aus einem allgemeinen Satz seiner Theorie der Ideal-