Primäre Ringe.

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Definition von q ; und wegen (q fc ) = o ist nämlich a == 0(qj... q r ).Andererseits ist (a r , a r_1 r* r , ..., r* 1 ... r f Ar ) e = 0(a).

Hiermit ist die Existenz der Zerlegung bewiesen; die Eindeutigkeitfolgt nach bekannten Rechenregeln für Teilerfremdheit ia ), aus denen sichwegen der Dimension Null zuerst das Übereinstimmen der Primidealeund dann das der Primärkomponenten ergibt. Denn zu verschiedenenPrimidealen gehörige Primärkomponenten sind nach dem Hilfssatz teiler-fremd, da dies in ® f wegen der Dimension Null erfüllt ist.

Um eine Folgerung aus Satz 3 zu ziehen, beschränken wir uns aufden Fall n — 1.

Im Polynombereich Ül [ x ] einer Unbestimmten x heißen zwei Funk-tionen fj (x) und f 2 (x) teilerfremd, wenn die aus ihnen abgeleiteten Haupt-ideale es sind. Der Hilfssatz ergibt, daß f 1 und f„ dann und nur dannteilerfremd sind, wenn dies für f ± und / a gilt. <p(x) heiße Primfunktion(Primärfunktion), wenn (f prim (primär) ist. Man erkennt leicht, aufGrund des Hilfssatzes, daß eine Primfunktion dadurch charakterisiert ist,zu allen regulären Funktionen niedrigeren Grades teilerfremd zu sein ; einePrimärfunktion ist, wie die Homomorphie zeigt, stets von der Formh (x) = e (x) g (x)" q (z), wo g(x) prim, e(z) bzw. q(x) eine Einheits-bzw. Nullteilerfunktion.

IV. Jedes reguläre Ideal in 3Î [x] ist von der Form a = (f{x), uj,wo u wieder das aus allen Nullteilern von a bestehende Ideal bedeutet.In ist jedes Ideal Hauptideal und etwa a —(f). Wählt man f(x) = 0(a)so, daß es bei der Homomorphie f entspricht, so ist a = (f(x), u). Fürbeliebiges «(¡r) = 0(a) hat man nämlich U = lf, also, wenn I ein be-liebiges 1 zugeordnetes Polynom bedeutet, a(x) — Z(x)f(x) = g(x), woq(x) eine Nullteilerfunktion; offenbar ist g , (x) = 0(u), womit IV be-wiesen.

Satz 4. Jede reguläre Funktion f(x) in 9Í [x] läßt sich bis aufEinheitsfunktionen eindeutig in ein Produkt von teilerfremden Primär-funktionen zerlegen.

Beweis. Man erkennt zunächst:

1. Ein reguläres Hauptideal (f(x)) besitzt kein echtes Vielfaches,das demselben Ideal in zugeordnet ist.

2. Zwei äquivalente reguläre Funktionen unterscheiden sich nur durcheinen Einheitsfaktor.

Dabei sind unter äquivalenten Funktionen solche verstanden, dieBasis desselben Hauptideals sein können.

12 ) Vgl. etwa E. Noether, Abstrakter-Aufbau .. ., § 4, 4.