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R. Hölzer.

Sei umgekehrt q primär, p das zugehörige Primideal. Die Homo-morphie ergibt q = 0(Ç). Weiter folgt aus der Homomorphie, daß füreine natürliche Zahl q : pe = 0(q) sein muß; ist nämlich eine

Basis von p modulo und etwa /i e ' = 0 (q), ..., f r er = 0 ( q), so brauchtman nur Q 2J Qi zu wählen. Da q die Dimension Null hat, folgt auspe==0(q) bekanntlich, daß q primär ist; also ist nach dem zu AnfangBewiesenen auch q* primär.

Hilfssatz. Aus (a,£)) = o folgt (3,b) = o und umgekehrt. Ausa , , ... , a k voll-regulär und (a ; , a,.) — o (i =H &) folgt ctj a„.. . a k voll-regulär.

Beweis. Daß aus (fl,b) = o folgt (ä,b) = ö, ist evident. Istumgekehrt (a, b) = ö, so sei etwa f -f- g = ë (ë Einheitselement vonf bzw. g aus a bzw. b); dann ist, wenn /', g irgendwelche Polynome aus abzw. b sind, die f, g vermöge der Homomorphie entsprechen, f-\- g = e'.wo e' eine Einheitsfunktion bedeutet. Hieraus folgt aber e ,_1 • f e' _1 • g = e.Ist ferner (ct¡, a ft ) = o, so ist das Produkt gleich dem Durchschnitt, undda in allen enthalten ist, so gilt dies auch für das Produkt.

Satz 3. In 9Î, läßt sich jedes Ideal von der Dimension Null ein-deutig darstellen als Produkt paarweise t eilerfremder Primärideale (vonder Dimension Null).

Beweis. Sei a das vorgelegte Ideal und a = q } ... q r die bekannteZerlegung von a in als Produkt paarweise teilerfremder Primärideale.

Ist q ; * das zu q ¿ gehörige voll-reguläre Ideal, so ist a* = q* ... q*die Zerlegung von a* nach Satz 3. Die Homomorphie ergibt nämlichq* .. . q* = 0 (a*); außerdem folgt aus dem Hilfssatz, daß q*... q r * voll-regulär ist, also a* = 0 (q* ... q*). Nach Satz 2 sind überdies die q*Primärideale von der Dimension Null.

Ist das zugehörige Primideal von q*, so sei etwa

J>i = 4, p f *), p r =(h L ,...,h t ,p*);

wir betrachten x 1 = (/j,\ .., f k ), ..., V r ={h } , ...,Ji t ). r t - ist zu p { ge-höriges Primärideal von der Dimension Null (r i = p i ). Die Homomorphieergibt, daß ein Potenzprodukt der r durch ft* teilbar wird. Da, wiebeim Beweise von Satz 2 gezeigt wurde, eine Potenz eines jeden Ele-mentes von a* zu a gehört, folgt hieraus, daß auch ein Potenzproduktder r durch a teilbar ist: r/' 1 ...r/ r = 0 (a) (endliche Basis der r¿!). Seigesetzt q i =(a,ri li ). Da q t . ein Teiler von p-', so ist q¿ und somit auch q jPrimärideal von der Dimension Null. Ferner folgt aus dem Hilfssatz(q¡, q ; .) =o. Es ist a = qj. .. q r die behauptete Zerlegung von a. Nach