Primäre Ringe.

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Û;. == CU + 1 = ... und U;. = lU-H = ... ; dann ist auch eu = Q;. + i = ..., wieunmittelbar aus der obigen Bemerkung folgt.

III. Jedes Ideal in 9^ besitzt modulo eine endliche Basis ; d. h.es ist a = (f, {x v ..x n ), ..f r {x lt ..x n ), u). III folgt aus II nachbekannten Schlüssen der Idealtheorie 10 ).

Ein Ideal in Sy heiße von der Dimension Null, wenn alle seine zu-gehörigen Primideale die Dimension Null haben 11 ); a in 9^ heiße vonder Dimension Null, wenn a die Dimension Null hat. Ein Ideal der Di-mension Null ist sicher regulär.

Satz 1. p ist dann und nur dann Primideal, wenn es vollregulärund p Primideal ist.

Beweis. Daß p voll-regulär ist, ist offenbar notwendig, da sonstein Element ^O(p) wäre, von dem eine Potenz teilbar wird. Fernerist nach dem Isomorphiesatz o | p ~ | p, unter o das Einheitsideal vonVftf verstanden. Enthält also ! p keine Nullteiler, so gilt das gleichefür o p und umgekehrt, woraus Satz 1 folgt.

Satz 2. Ein Ideal q von der Dimension Null ist dann und mirdann Primärideal, wenn q primär ist.

Beweis. Man erkennt dies zunächst für das zu q gehörige voll-reguläre Ideal q * wie eben aus der Beziehung o ; q * ~ ®^ | q. Zu zeigenist also: q ist dann und nur dann primär, wenn q* es ist. Sei q* primär.Zunächst ist von jedem Element aus q* eine Potenz durch q teilbar (wasallgemein für a* und a gilt). Ist nämlich a ein beliebiges Element aus q*,so enthält q ein Element für das a' = a (¡p*), und es ist mithin füreine natürliche Zahl X: ( a — a')'' = 0, a ; -=0(q). Die Elemente desPrimideals p von q * erzeugen also Elemente von 0 | q, von denen einePotenz verschwindet; somit genügt es zu zeigen, daß die Elemente ^ 0 (p)keine Nullteiler in o | q ergeben.

Dazu bemerkt man, daß p von der Dimension Null ist und die Prim-ideale von der Dimension Null keinen echten Teiler 4= 0 haben. Beidesfolgt aus der Homomorphie und Satz 1, wenn man beachtet, daß p daszugehörige Primideal von q ist. Sei nun a^0(p), dann ist (a, p) = o.Folglich gibt es ein Hauptideal (ß)=0(p), so daß (a, ß) — o. Ist etwa(/?)"= 0(q), so folgt ( cc,ß") = o , («,q) = o. Das bedeutet aber, daß«eine Einheit in 0 |q erzeugt.

10 ) Vgl. E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, § 1.

11 ) Zum Dimensionsbegrifi der Primideale — Transzendenzgrad des Restklassen-körpers — vgl. E. Noether, Eliminationstheorie, § 4, Satz 5. Dimension Null heißtalso, daß jedes Element des Restklassenkörpers algebraisch in bezug auf den Grund-bereich ist.