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R. Hölzer.

a =)= (Ö). a heiße voll-regulär, wenn außerdem = 0 (a). Die nicht-regu-lären Ideale heißen Nullteilerideale; diese brauchen nicht Idealteiler derNull zu sein, wie aus dem Beispiel in § 1 unmittelbar folgt. Jedochmuß von jedem Nullteilerideal mit endlicher Basis eine Potenz verschwin-den. Es gilt: Aus a = 0(b) folgt S = 0(b), aber nicht umgekehrt; ebensofolgt aus a-b = c stets a - b = c. Jedem a ist eindeutig ein vollreguläreszugeordnet, nämlich a*; die Zuordnung zwischen den a* und ä ist umkehr-bar eindeutig.

§ 2.

Idealtheorie im Polynombereich primärer Ringe.

1. Von jetzt ab sei 9Î ein s-pezieller primärer Ring, in dem alsojedes reguläre Element Einheit ist, 9t ^ der Bereich aller Polynome inx 1 ,..x n mit Koeffizienten aus 91.

Eine Funktion aus 9^ heißt regulär, wenn sie mindestens einen regu-lären Koeffizienten besitzt, sonst Nullteilerfunktion ; die größte vorkom-mende Exponentensumme mit von Null verschiedenen Koeffizienten heißtdie Ordnung der Funktion, die größte vorkommende Exponentensummemit regulären Koeffizienten ihr Grad. Der Grad einer Funktion ist gleichdem Grad der zugeordneten Funktion in ifty ; aus der Homomorphie zu St^folgt sofort, daß sich die Gradzahlen bei Multiplikation addieren, insbesonderealso, daß die Funktionen positiven Grades keine Einheiten sein können.

I. Die Einheiten von 9^ sind die regulären Funktionen vom Grade

Null.

Eine solche Funktion hat die Form e(x 1 , ..., x n ) — a -f- q{%t, #„)>wo a ein reguläres Element aus 9..., x n ) eine Nullteilerfunktion;e(x 1 , ..., x n ) ist zu dem Hauptideal (q(x 1 , ..., x n )) teilerfremd, also auchzu jeder Potenz von (q(x 1 , ..x n )), mithin zu (0). Zusammen damit,daß Funktionen positiven Grades keine Einheiten sein können, drückt diesdie Behauptung von I aus.

Die Gesamtheit der Nullteilerfunktionen von a bildet ein Nullteiler-ideal u, das Vielfaches von a ist. Ist b echter Teiler von a und bildet uebenfalls die Gesamtheit der Nullteiler von b, so muß offenbar b echterTeiler von ä sein. Auf dieser Bemerkung beruht

II. In 9^ gilt der Teilerkettensatz modulo pf. D. h. die Kettea ls Ojj, a 8 , ... , wo a¿ echter Teiler von a i _ 1 ist, bricht nach endlich vielSchritten ab, wenn dies für die Kette u x , U 2 , u 3 , ... gilt.

Da nämlich in der Teilerkettensatz gilt, so muß die Kettettj, ö 3 , a 3 , . .. im Endlichen abbrechen. Sei  eine natürliche Zahl, so daß