Primäre Ringe.

723

Sind T 1 und T„ zwei Erweiterungen eines Ringes 3Î, so heißen siebezüglich 3t äquivalent, wenn sie so isomorph aufeinander bezogen werdenkönnen, daß dabei jedes Element von 3Î sich selbst entspricht.

Jedem speziell primären Ring 3t ist eindeutig ein Körper zugeordnetzu dem er homomorph ist, nämlich das Restklassensystem 3î|p*. Imfolgenden wird das einem Element a von 31 zugeordnete Element vonalso die Klasse, die es repräsentiert, stets mit ä bezeichnet, a ~ ä. Ist ©ein Erweiterungsring von 3Î, der ebenfalls speziell primär ist, so enthältsein zugehöriger Körper £ einen zu S 1 isomorphen Teilkörper ®', der ausallen Restklassen von £ besteht, die durch Elemente von 3Î repräsentiertwerden können ; ersetzt man ft' in 2 durch ® und definiert in naheliegen-der Weise die Verknüpfungen, so entsteht eindeutig ein Erweiterungs-körper £' von wobei @~£'; wir dürfen deshalb der Einfachheithalber £ stets schon in unmißverständlicher Weise als Erweiterungskörpervon ¡Tí annehmen. Bedeutet weiter 3i^ den Polynombereich in beliebigviel Unbestimmten mit Koeffizienten aus 3Ï, so ist er dem Polynom-bereich in der gleichen Anzahl von Unbestimmten mit Koeffizientenaus Sí homomorph, wobei die Homomorphie von 3Î zu Sí umfaßt wird;man braucht offenbar nur jedem Polynom aus 3Î^ mit den Koeffizienten a¡dasjenige Polynom von zuzuordnen, welches die Koeffizienten ä i besitzt.

Sei 3t ein allgemeiner primärer Ring, 31' der ihm, wie oben erklärt,durch Quotientenbildung zugeordnete speziell primäre und S) dessen zu-gehöriger Körper. Dann entsteht, wenn man jedes Element von 3t durchdas ihm vermöge 3i'~® entsprechende in .fï ersetzt, ein Unterring Pvon dessen Quotientenkörper £ ist; es ist 3Î~P. Ist ferner © einallgemein primärer Erweiterungsring von 31, so ist, in analoger Bezeich-nungsweise, © <-v, 2 und £ der Quotientenkörper von 2. Schließlich istauch hier

Satz. 1st 3t primär, so ist auch der Polynomring primär, deraus 31 durch Adjunktion einer Unbestimmtenmenge beliebiger Mächtigkeithervorgeht 9 ).

Wir führen noch folgende Bezeichnungsweise ein : Das dem Elementf{ x) von 3^ zugeordnete in P ; sei mit f(x) bezeichnet, das dem Ideal a zuge-hörige mit ä, das 3 zugehörige größte Ideal in 3^ mit a* ; es ist o* = (a, pf).Schließlich nennen wir a regulär, wenn a vom Nullideal verschieden,

9 ) E. Noether, Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, Math. Ann. 90(1923), S. 229—261, Hilfssatz I, § 2. Daß dieser Hilfssatz tatsächlich mit dem obigenSatz identisch ist, wird im Fall des Primideals ausdrücklich gesagt und gilt wörtlichso bei Primäridealen. Daß damit auch der Fall einer Unbestimmtenmenge beliebigerMächtigkeit erledigt ist, folgt direkt daraus, daß jedes einzelne Polynom nur endlichviele Unbestimmten enthält.