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R. Hölzer.

Das zum Nullideal gehörige Primideal eines primären Ringes 9Í seistets mit p* bezeichnet; p* ist also das System aller Nullteiler von 9Í .Man kann von einem allgemeinen primären Ring immer zu einem spezi-ellen auf eindeutige Weise gelangen vermittelst einer gewissen Quotienten-bildung. Ist allgemein 9Î ein beliebiger Ring, & ein System von regulärenElementen aus 9î, so daß neben a und b auch a-b zu & gehört, so ver-steht man unter dem durch & erzeugten Quotientenring von 9ï denjenigenErweiterungsring von 5R, der durch Bildung aller „Quotienten" — wo a

beliebig, b aus @ — entsteht, indem man die Festsetzungen trifft: ~ gleich ^

dann und nur dann, wenn ab' — a' b — 0 und -Ï-- + 7, = a h ,^7 , a b ,

b — 0' ob' '

'¡-■y, = yf/ 7 )- a beliebiges Ideal in 9Î, so bildet offenbar die

Gesamtheit der regulären Elemente a^O(a), für die kein reguläres Ele-ment b^ 0(a) existiert, so daß a-6 = 0(a), ein System 05; den hierdurchbestimmtan Quotientenrig 9î„ wollen wir den Quotientenring von 9v nach anennen. Ist a insbesondere ein Primideal p, das alle Nullteiler enthält,so besteht 9Î,, aus allen Quotienten ~ , wo a beliebig, 0 (p). Ist nun 9Î

allgemein primär, so ist offenbar speziell primärer Ring; diese letzterensind durch 9î p . — 3Î charakterisiert.

Sind 9Î und 3i' beliebige Ringe, so heißt 9Í 'ho?nomorph zu 3ï', 9i ~ Dî',wenn jedem Element aus 9Ï ein und nur ein Element aus 9ï' entspricht,so daß dabei erschöpft wird und außerdem diese Zuordnung derartbeschaffen ist, daß Differenz und Produkt sich entsprechen. Ist das Ent-sprechen der Elemente umkehrbar eindeutig, so heißen die Ringe isomorph,9ï ~ Oí'. Ist 9i homomorph zu 9ï', so entspricht jedem Ideal nt aus 9Îein und nur ein Ideal m' in 9Ï', das entsteht, indem man jedes Elementvon m durch das ihm in 9Î' entsprechende ersetzt; m ' heiße das zugehörigeIdeal von m oder das ihm in 9Î' zugeordnete. Ist umgekehrt m' ein be-liebiges Ideal aus 9t', so gibt es im allgemeinen mehrere Ideale n in 9Í,für die n' = nt'; wir nennen sie die zugehörigen von nt', ihren größtengemeinsamen Teiler das größte zugehörige Ideal von nt'. Es gilt der fürdas Folgende wichtige

Isomorphiesatz. Bedeutet a das größte dem Nullideal von 9î'zugeordnete Ideal von 9Î, und ist in irgendein Teiler von a, so istïftj m~9î'|nt' 8 ).

') Der Begriff und die Konstruktion ist vollständig analog der Bildung desQuotientenkörpers bei Steinitz, Algebr. Theorie der Körper, Journ. f. Math. 137; vgl.auch Grell, a. a. 0.

8 ) Vgl. E. Noether, Abstrakter Aufbau . .., g 4, 3, erster Isomorphiesatz.