Primäre Ringe.

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szendenter Erweiterungen sich die Begriffe der Körpertheorie direkt über-tragen, insbesondere der Begriff des Transzendenzgrades, so daß gleicheMächtigkeit des Transzendenzgrades die notwendige und hinreichende Be-dingung für äquivalente Erweiterungen abgibt. In dem von Krull be-trachteten Fall folgt dies direkt aus dessen allgemeinen Sätzen.

§1.

Definitionen und vorbereitende Begriffe.

Definition 1. Ein Ideal q aus 9t ( kommutativer Ring) heißt schwachprimär, wenn im Restklassensystem 9t | q eine Potenz jedes Nullteilersverschwindet, stark primär, wenn in 9Î | q eine Potenz jedes Idealteilersder Null verschwindet.

In beiden Fällen heißt q primär; die Gesamtheit p der Elementeaus 9t, die Nullteiler in 9t | q erzeugen, ist ein Primideal, das in q auf-geht und das zugehörige Primideal heißt 8 ).

Jedes starke Primärideal ist zugleich schwaches Primärideal. Im all-gemeinen gilt aber nicht die Umkehrung, wie folgendes Beispiel zeigt:sei 9t der Polynombereich von abzählbar vielen Unbestimmten x¡ mitKoeffizienten aus einem Körper; sei ferner

q (^i ? ^'2 î • ■ ■ 5 5 X i Xjç ,.. . ) ( i =|= Je ).

Nullteiler im Restklassenring sind alle und nur die durchp = ,x 2 ,...,x v ...)teilbarem Polynome, und es wird jeweils eine Potenz dieser Nullteiler durch qteilbar; q ist also schwaches Primärideal mit p als zugehörigem Primideal.Dagegen ist q nicht starkes Primärideal, wie man durch Betrachtung vona = (x x , x s , x 5 , ..., X-2V + 1,...) und b == (x s , x¿, x„, ..., x 2v , • • •) erkennt.Es ist a • b see 0 (q), aber a*^0(q), f> K ^0(q) für jedes x.

Ein schwaches Primärideal ist jedoch stets stark primär, wenn esendlichen Exponenten hat, d. h. eine Potenz des zugehörigen Primidealsdurch q teilbar wird (was z. B. immer der Fall ist, wenn in 9t der Teiler-kettensatz gilt 8 )).

Ein Element eines Ringes, das nicht Nullteiler ist, heißt regulär.

Definition 2. Ein Ring 9t heiße allgemeiner primärer Ring, wennsein Nullideal schwach primär ist und er mindestens ein reguläres Elementbesitzt; er heiße spezieller primärer Ring, wenn außerdem ein Einheits-element der Multiplikation existiert und jedes reguläre Element Einheitist — d. h. Teiler des Einheitselementes.

6 ) Vgl. hierzu E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischenZahl- und Funktionenkörpern, Math. Ann. 96 (1926), S. 26—61, § 5.

6 ) Vgl. etwa E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann. 83 (1921),S. 24-66.