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R. Hölzer.

tat, gelingt ihm — wenigstens für „vollkommene"' Ringe — eine weit-gehende Typisierung.

Im folgenden wird eine Idealtheorie im Polynombereich von n Un-bestimmten eines primären Ringes ohne Voraussetzung einer Endlichkeits-bedingung und mit rein begrifflichen Methoden gegeben. Im Mittelpunktstehen die Begriffe der Isomorphie und Homomorphie (d. h. der nur ineinem Sinne eindeutigen Zuordnung von Ringen zueinander), die es erlauben,aus der bekannten Zerlegung im Polynombereich mit Körperkoeffizientenauf eine solche im Ring-Polynombereich zu schließen. Diese Zuordnungzwischen Ring und Körper tritt bei Krull erst an viel späterer Stelle auf 3 ).

Man gewinnt so als Hauptsatz, wenn man sich vorerst auf spezielleprimäre Ringe als Koeffizientenbereich beschränkt, für alle Ideale derDimension Null eine eindeutige Zerlegung als Produkte von paariveiseteilerfremden Primäridealen — was im Spezialfall auf das Krullsche Re-sultat zurückkommt. Im Fall einer Unbestimmten folgt daraus die Zer-legung der Funktionen.

Geht man zu allgemeinen primären Ringen über, so ergibt hier —unter Benutzung der Resultate von H. Grell 4 ) — der Zerlegungssatz nochfür die „ausgezeichneten" Ideale der Dimension Null eine eindeutige Zer-legung in „ausgezeichnete" Primärideale.

Daß für Ideale höherer Dimension die Methode sich nicht direkt über-tragen läßt, zeigen zwei von W. Krull herrührende Beispiele.

Die von W. Krull in seinen beiden ersten Arbeiten zur Ringtheorieaufgestellte Theorie der Erweiterungen bezieht sich — abgesehen von derBeschränkung auf „vollkommene" Ringe — nur auf eine ganz besondereArt von Erweiterungen, auf solche nämlich, die sich idealtheoretisch durchHauptideale beschreiben lassen. Durch diese absichtliche Beschränkung wirdes möglich, die Struktur des Ringes weitgehend auf die des zugeordnetenKörpers zurückzuführen. Ich mache in § 3, 1 einen Vorschlag, wie mandurch Untersuchung eines anderen Idealtyps zur Erfassung der allge-meinen Erweiterung eines primären Ringes gelangen könnte. Ich zeige,wie eine beliebige Erweiterung sich immer in drei charakteristischenStufen vornehmen läßt, die etwa den Begriffen Nullteiler, transzendent,algebraisch entsprechen. In § 3, 2 zeige ich kurz, wie im Fall rein tran-

3 ) Neuerdings ist Krull einen ähnlichen Weg gegangen, auch teilweise in derTheorie der Erweiterungen, aber immer unter Festhaltung an der Bedingung desendlichen Exponenten. Vgl. seine, im übrigen andere Zwecke verfolgende Note: Alge-braische Erweiterungen kommutativer hyperkomplexer Systeme, die in Math. Annalen97 (1927), Heft 3 erscheinen wird. Die hier gegebenen Entwicklungen sind unab-hängig und zeitlich früher entstanden.

4 ) H. Grell, Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, die in Math.Annalen 97 (1927), Heft 3 erscheinen wird. Vgl. § 6 über den Quotientenring.