Zur Theorie der primären Ringe*).

Von

Rudolf Hölzer f.

Unter einem primären Ring verstellt man einen Ring derart, daßeine Potenz jedes Nullteilers verschwindet. Im Sinne des Übergangs zuBereichen mit Nullteilern stellt der primäre Ring also den ersten Schrittvom Körper aus dar, insofern dort jeder Nullteiler verschwindet und inso-fern alle Ringe ohne Nullteiler durch Quotientenbildung auf Körper führen.Entsprechend wie in der Körpertheorie führt die Frage des Aufbaues derprimären Ringe auf die Idealtheorie im Polynombereich mit Elementeneines primären Ringes als Koeffizienten. Während aber im Polynombereichmit Koeffizienten aus einem Körper der Teilerkettensatz erfüllt ist undman daher diese Idealtheorie vollständig beherrscht, fehlt hier eine solcheEndlichkeitsbedingung.

W. Krall hat in seinen Arbeiten über primäre Ringe 1 ) — die anA. Fraenkel anschließen — eine gewisse allerdings viel schwächere End-lichkeitsbedingung dadurch erreicht, daß er endlichen Exponenten voraus-setzte, d. h. indem er annahm, daß eine Potenz des aus allen Nullteilernbestehenden Ideals verschwindet; außerdem setzte er den Ring als spe-ziellen primären voraus, d. h. als einen solchen, der nur Nullteiler undEinheiten enthält. Hier kann er 2 ) durch formal-rechnerische Hilfsmittel,nämlich durch Übertragung des Euklidischeu Algorithmus — der im Spe-zialfall sich schon bei Fraenkel findet —, im Fall des Polynombereichseiner Unbestimmten eine eindeutige Zerlegung der Polynome in paarweiseteilerfremde primäre erreichen; und damit eine eindeutige Zerlegung derIdeale in paarweise teilerfremde Primärideale. Gestützt auf dieses Resul-

*) Rudolf Hölzer, geboren am 30. September 1903, erlag am 2. Juli 1926 derTuberkulose. Die vorliegende, noch ganz von ihm selbst redigierte Arbeit war alsDissertation gedacht; zum Examen ist es nicht mehr gekommen.

*) W. Krull, Algebraische Theorie der Ringe, I., Math. Ann. 88 (1923), S. 80 bis122; II., Math. Ann. !)1 (1924), S. 1-46; III., Math. Ann. 92 (1924), S. 183-213.

-) W. Krull, Algebraische Theorie der Ringe, I., Math. Ann. 88 (1923), S. 96.