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F. Krauß. Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

[í e y]i ,e — 0, ||£q r ]i,e—0,

(42) [i ea x]o,a = 0, [i sa q r ]e,o = 0,

[q r 9«x ] e ,„ = 0, [q r ^qj e>(1 = 0.

[ ]., e bedeute hierbei den Wirbel, der entsteht, wenn man von dem Aus-druck in der Klammer den durch Vertauschung der Indizes ,, e hervor-gehenden abzieht.

Ist eine innere Maßform © i x definiert, so kann man mittels ihrerdie Integrabilitätsbedingungen reduzieren, d. h. die Ableitungen der Form-koeffizienten, die in ihnen vorkommen, durch ihre Kerne, die mit den ausden © i X erzeugten Christoffeischen Symbolen gebildet sind, ersetzen. Setztman 21 i y. — i ( *> — i" (s. o. S. 712), so sind die durch Zerlegung der und qeentstehenden Formen, welche mit ihren Ableitungen in die Koordinaten derTaylorkerne und die Integrabilitätsbedingungen eingehen :

(43) 1) &ix, 2) 3) < e q,., 4) qfx, 5) qeq s .

Jedes unabhängige Formensystem, aus dem sich dieses Formensystem er-zeugen läßt, ist ein Grundformensystem.

Die Spezialisierung dieser allgemeinen Verhältnisse für die gewöhnlicheund volumtreu-affine Kurven- und Flächengeometrie 15 ) ist leicht und sollnicht im einzelnen ausgeführt werden. Wir bemerken hier nur, daß dieaffine Flächentheorie lediglich einen einzigen Fundamentaltensor (s. obenS. 704 Fußnote und S. 712 Fußnote), nämlich einen n-dimensionalen Maß-tensor © besitzt, weil infolge der Herkunft dieser Maßbestimmung aus derKrümmung der Fläche die Tensoren 23 (s. o. S. 714), 9Î und die 9Î- Gradientensich durch © und die ©-Gradienten ausdrücken lassen. Unter den fünfFormen (43) wird 5) Null, 1) und 3) werden identisch; 2) wird -©'<«/und 4) drückt sich aus den Integrabilitätsbedingungen (42) durch © i yund ($' i y. À aus. Somit bleiben zwei durch den Fundamentaltensor ©dargestellte Grundformen übrig:

(44) ©ípí, ©'«*:/.

Die Taylorkerne % u \y., % [i] i.x"/, werden @«^xq und ©'izlx q, wo qder Affinnormalvektor. Die sogen. Apolaritätsbeziehung kann auf Grunddieser Form der Taylorkerne als die Aussage aufgefaßt werden, daß in-folge der Tangenti alitât von qe der Kern der Ableitung des von den /gebildeten (affinmetrischen) Parallelogramminhalts verschwindet, oder daßdieser Inhalt im tangential-affinen Koordinatensystem stationär ist, eineEigenschaft, die für die gewöhnliche Maßbestimmung ebenfalls gilt.

16 ) Vgl. z. B. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie I. u. II., Springer1923/24, und Schouten a. a. O.

(Eingegangen am 16. 5. 1926.)