Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

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Der Taylorentwicklung entspricht die geometrische Vorstellung der Zerlegungdes Ortsvektors in einen unendlich vielgliedrigen Streckenzug mit nach Null konver-gierenden Gliedern. Jeder Spezialisierung des Koordinatensystems ist dann eine be-stimmte Zerlegung zugeordnet, die als eine vektorielle Charakteristik des Koordinaten-systems aufgefaßt werden kann. Die einzelnen Glieder des Streckenzuges haben alsobei invarianter Spezialisierung invariante Bedeutung, d. h. ihnen entsprechen invariantbei ï\ definierte Längen und Richtungen am Gebilde im Entwicklungspunkt.

Da im tangential-affinen Koordinatensystem die Tangentialkomponentender ¿e--- verschwinden, so müssen die Kerne der iß — auf R m quer stehen undüberdies, wegen 2í = Í£> = 0, symmetrisch sein. Die Kerne der sindalso quer gerichtete symmetrische Vektorsysteme, welche als Vektorkoordi-naten invarianter Tensoren aufzufassen sind, die wir mit X' 11 , j£ |21 , ...bezeichnen und „Taylorkerne (des Ortsvektors) " nennen. Nach den obenS. 714 f. auseinandergesetzten Regeln erhält man die ersten zwei Taylorkerneausgedrückt durch den Richtungstensor und seine Gradienten:

$ 12i <^ = 3î";t* t + 3l';L(3r*0 + 9ï'* (Co-unter der invarianten Entwicklung des Ortsvektors verstehen wir seineDarstellung in der Form:

(41) ? = 9î ? + i f.k + i % [î] lxà

wobei f t = £ t 0 . Das Wesentliche dieser Entwicklung sind die Taylor-kerne, welche invariante, für jedes beliebige Koordinatensystem definierteTensoren sind.

Von dem Begriff der Fundamentaltensoren (s. oben S. 704 Fußnote), dersich auf die reduzierte Darstellung mittels der äußeren Ableitung bezieht,wohl zu unterscheiden ist der übliche Begriff der Grundformen eines Gebildes(nach Art der beiden Gaußschen Grundformen der gewöhnlichen Flächen-theorie). Unter diesen versteht man bekanntlich ein System von Formen(mit griechischen Zeigern), deren Koeffizienten, als Funktionen der be-kannt, das Gebilde vollständig bestimmen, so daß alle Eigeninvarianten sichaus diesen Koeffizienten und ihren Ableitungen erzeugen lassen. Die Inte-grabilitätsbedingungen, denen die Grundformen genügen müssen, sind nichtsanderes, als die Symmetriebedingungen für die durch die Grundformen dar-gestellten Koordinaten der ¿e--- bzw. für deren Kerne. Sind q i; q„, ... qinvariant definierte unabhängige Quervektoren erster Art und q i; q 3 , . .. q n _ m

zugehörige reziproke zweiter Art mit q r q g = (?' '. _ S , so reduzieren sich

( i , r — s

diese Symmetriebedingungen (genau so wie oben S. 707 alle Wirbel sichauf Wirbel der Form 1) und 2) zurückführten) aüf die folgenden: