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F. Krauß.
10. Wirbelfreie Vektorübertragung. Taylorkerne. Fundamental-tensoren und Grundformen. Affine Flächengeometrie.
Die Wirbelfreiheit (g = Sp = 0) ist die Bedingung für die Existenzeines Ortsvektors £ mit beliebiger Nullstelle, welcher definiert ist durch:
(36) {dl)H=dt; h .
Dann existiert in R n ein überall affines Koordinatensystem und ist gegebendurch :
(37) 3»° = ^
wo h" die Grundvektoren zweiter Art in der Nullstelle des Ortsvektorsbedeuten. Konstante Tensoren haben natürlich in einem solchen Koor-dinatensystem, welches alle Grundvektorableitungen annulliert, konstanteKoordinaten.
Die Grundvektoren i sind nunmehr als Ableitungen £' des Ortsvektorsdarstellbar. Die Differentiationsfolge ist auch an nicht-skalaren Argu-menten vertauschbar. Legen wir die Nullstelle des Ortsvektors in denbetrachteten Gebildepunkt, so nimmt die Taylorentwickelung von g (derenExistenz und Konvergenz vorausgesetzt wird) folgende Form an:
(38) £ = 2;^+^^ + ^^^+... .
Wegen der Wirbelfreiheit ist die Permutationsfreiheit der belanglos,und es stellen die Tangentialkomponenten 9Ï«-" das charakteristischeSystem A t ] dar. Sie sind bis zu einer beliebigen Ordnung p in einembeliebigen Punkte P des Gebildes annullierbar. Ein Koordinatensystemvon R , in dem dies Verschwinden stattfindet, heiße ein in p-tex Ord-
m ' ' L
nung (in P) tangential-affines, da seine Projektion in den Tangentialraumvon R m in p- ter Ordnung äquivalent ist mit einem in diesem gezogenenaffinen Koordinatensystem. Da j der von dem betrachteten Punkte Pzu einem beliebigen anderen Gebildepunkt gezogene Ortsvektor ist, soist ein (in P) vollständig tangential-affines Koordinatensystem analogwie im Vollraum gegeben durch:
(39) ïi°=£.
Jede bis zu einer gewissen Ordnung vollständig invariante Speziali-sierung des Koordinatensystems auf R m (s. o. S. 696) erzeugt vektorielleKoeffizienten <<?••• der Taylorentwicklung des Ortsvektors, die mit Eigen-invarianten von R m zusammenfallen. Das tangential-affine Koordinaten-system ist diejenige einfachste Spezialisierung, bei welcher die mit denTaylorkoeffizienten «£••• der Ortsvektorentwicklung zusammenfallenden Eigen-invarianten des Gebildes die Kerne der t®— selber sind.