Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

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gegeben, die h r und h T -■■ durch (S, g-, ig», so daß die einzigen vorkommen-den bei T 1 Varianten Elemente von der Form und ie a — sind. Mittels(33) drückt man die te "■■■ durch die aus und zerlegt in den letzterendie i" nach (34). An dieser Zerlegung führt man die weiteren Differentiationenaus, indem man nach jeder Differentiation die neu auftretenden i - und i'-'wiederum ebenso zerlegt. Das Resultat einer solchen Zerlegung von ie°—oder is "■■■ ist dann ein Aggregat, in dem als einzige bei T 1 variante Ele-mente nur noch Tangentialkomponenten 9i ¿ e ° • • • vorkommen. In diese hatman dann noch die beiden Fundamentalwirbel ^ und ig einzuführen, sodaß nur noch permutationsfreie Indexkombinationen übrigbleiben. Istder Raum wirbelfrei, d. h. sind ^ nnd § null, so erübrigt sich natürlichdie letztere Umformung.

Als Beispiel möge die Kernbildung von i'-" ausgeführt werden für(S' = g=ÍQ==0:

i eff = (SR' S t + 3it e ) 0

(35) = 9Î"O£>Î -f- + Dí'ot-' +

Kern von i e ° = $R"c0í + (St'cr í) + 9î'o(9î'£>î).

Liegt ein Ausdruck vor, in dem außer bei T 1 invarianten Elementennur noch frei variante Elemente (z. B. permutationsfreie Tangentialkom-ponenten 9Î is ...) enthalten sind, so kann man diese alle null setzen, fallsder Gesamtausdruck selbst bei T 1 invariant ist. Hierin liegt analog wieoben S. 709 eine Regel der reduzierten Differentiation, wonach man beider ko Varianten Ableitung algebraischer Invarianten die entstehenden i"ersetzt durch ihre Querkomponenten, die Tensorkoordinaten sind, die i,'~aber durch diese und (£' ausdrückt.

Hat man die reduzierten Formen, so kommt es im wesentlichen aufdie algebraischen Eigenschaften der Gradienten an. Dabei ist zu beachten :Jeder längs R m gebildete Gradient ist, da er die Form x g hat,

tangential an erster Argumentsstelle. Er verschwindet also, wenn er dort miteinem quergerichteten Vektor überschoben wird (s. o. (35)). Die Symmetrie-und Antisymmetrieeigenschaften eines Tensors 3t übertragen sich natürlich aufseine kovariante Ableitung 2l e , so daß 21' an (p-f-l)-ter und (g-(-l)-terStelle symmetrisch oder antisymmetrisch ist, wenn 21 es an p-ter undg-ter Stelle war. Ist z. B. & von zweiter Stufe und symmetrisch, so ist&' symmetrisch an zweiter und dritter Argumentstelle, d.h. (ä'hki = %'hik.Unter Berücksichtigung dieser und ähnlicher algebraischer Verhältnissemacht sich das tensorielle Rechnen, verglichen mit dem Rechnen in ska-larer Form, recht einfach. Wir betrachten zum Schlüsse noch näher diewichtigste Spezialisierung: (S' = ^ = £) = 0.

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