714

P. Krauß.

Das letzte Glied ist Tangentialkomponente, so daß die beiden ersten dieQuerkomponente bilden, die sich, wenn @'=0, auf dt'gi reduziert. Beiweiterer Differentiation von is ergeben sich Aggregate, die 9Í, ÜR', $R", ...und enthalten und überdies Tangentialkomponenten

Diese Tangentialkomponenten hat man nun in analoger Weise wie obenS. 7061 durch die permutationsfreien auszudrücken, wobei sich dieAnaloga der ^ und ÍQ einführen, nämlich die Tensoren mit den vektoriellenKoordinaten :

i e — Q', ie a — i"e.

Diese Tensoren sind nun aber, wie eine triviale Ausrechnung lehrt, nichtsanderes als Tangentialkomponenten der J und § des Vollraumes. Sieund ihre Gradienten sind daher durch die ¡Q, deren Gradienten und 3Íund seine Gradienten ausdrückbar. Die Darstellung beliebiger durch

die Größen eines permutationsfreien Systems führt also keine neuen Fun-damentaltensoren ein. Vielmehr treten zu ©, § des Vollraums nur noch 9Îund seine Gradienten.

Auf diese Art erhält man den Reduktionssatz :

Beliebige Ausdrücke cp(Q) haben Kerne, die sich aus den mitden h,h und i, i gebildeten Bestimmungszahlen der Stammtensoren undihrer Gradienten längs R m und der Tensoren (£, %, §, îTi und derenGradienten komponieren. (£, 3Ï sind also die Fundamentaltensoren.

Demnach müssen alle Differentialinvarianten auf Gebilden auf redu-zierte Normalformen gebracht werden können, wo sie als algebraischeKompositionen aus den Stammtensoren, den Fundamentaltensoren undderen Gradienten erscheinen. Die Eigeninvarianten von R m enthaltenbloß die (£, 9f. Weitere Größen können noch zur Grundbestimmungdes Raumes hinzutreten, so z. B. ein quadratischer Linienmaßtensor ©oder, wie in der volumtreu-affinen Geometrie, ein n-dimensionaler anti-symmetrischer Volummaß tensor 33, der n Verschiebungsvektoren rt a , a„,..., a„den Rauminhalt 3? ctj a„ ... a n des von ihnen aufgespannten Prismaszuordnet. & und 2S gehen dann, wie beliebige Stammtensoren, mitihren Gradienten in die reduzierten Darstellungen ein. Steht die Quer-richtung zu einer quadratischen Maßform © in einer solchen Beziehung,daß sie die Richtung des Kontinuums aller durch © auf E m als normaldefinierten Verschiebungsvektoren bedeutet, so wird sie (n — m-dimen-sionale) Normalrichtung.

Die Kernbildung und Herstellung der reduzierten Formen auf Gebildenverläuft nach den obigen Ausführungen folgendermaßen : Man führt an denals Überschiebungsprodukte aus Tensoren und Grundvektoren aufgefaßtenKoordinaten die Differentiationen aus und eliminiert, wie in Teil II an-