Über (lie Gitterpnnkte in einem Kreise.

Von

Karl Gfandjot in Göttingen.

Neuere Untersuchungen über die Anzahl der Gitterpunkte in einemKreise haben zu Ergebnissen geführt, die sich unter Benutzung der Be-zeichnungen

ü (») = 2J

ar+b-=n

P(x) = ^ U(n) — jix ,

n= i ra-so aussprechen lassen:

Herr Cramér 1 ) bewies für jedes e > 0

J P '\x)dx = ßy° + 0(yi +s )

0

und Herr Landau 2 ) dann sogar

(1) f P'(x)dx = ßy§+ 0(y 1+E ). 3 )o

Das folgende bekannte Verfahren leitet hieraus und allgemeiner ausjeder Beziehung

V

(2) R (y) = f P' 2 (x)dx — ßy% = O (y a ) mit a 3

o

Uber zwei Sätze des Herrn G. H. Hardy, Math. Zeitsohr. 15 (1922), S. 201—210.

2 ) Über die Gitterpunkte in einem Kreise, Gött. Nachr. 1924, S. 58—65.

3 ) Daß beide Verfasser nur von 1 an integrieren und daß ihr I J (x) sich vonmeinem um 1 unterscheidet, macht nichts aus, wie man z. B. mit Hilfe von S. 65 derunter -) genannten Arbeit sieht.