K. Grandjot. Gitterpunkte im Kreise. 63

eine Abschätzung von P(x) her. Aus (2) folgt

also

y+v 3 / « 1\

f P i (x)dx = 0 [y 3 y 2 ) + 0(y"),

a V+V 3 V + V 3

y 3 \P(y)\£ J \p{x)\dx+ f \P{x)-P(y)\dx

V V

a la

(a v+y 3 \ 2 V+V 3

y 3 / P'(x)dx) +0 J (x — y + 1) x s dx

V I V

= 0 (^ + ï) + 0 {y* a ) + 0 (y 3 ^) ,

1 \ / a '

• +e

%) = oU 4 i + o^

Aus Herrn Landaus Ergebnis folgt so die wohlbekannte Abschätzung

P{x) = 0(x» +£ ).

Das schärfere

P(®)= 0(xi +c )würde sich aus der Richtigkeit von

R(y) = 0(yt + °)

ergeben. Ich hüte mich aber, diese letztere Vermutung auszusprechen;weshalb, mag man gerade zwischen den folgenden Zeilen lesen.

Ich werde nämlich für die Funktionen

p s(y) = e J (y - z) 6 ' 1 P(x)dx (q> l ganz)

o

mit der Abkürzung

ñ (g') 2 y u\ n)

nicht nur die ungefähr (1) entsprechende (um das e bessere) Beziehung

(3) R a (ymf P ^x)dx-ß e ye + i = 0(y s+1 )

0

nachweisen, sondern auch

(4) R e (y)= Q(ye+i)

(d. h. bei passendem von y freiem Ii > 0

\R e {y)\> Kye+ifür eine Folge ins Unendl iche wachsender y).