64 K. Grandjot.

Der Nachweis von (3) ist entsprechend einfacher als der von (1) beiHerrn Landau, da die bekannten Reihen, welche P e (x) darstellen, absolutkonvergieren; der Beweis von (4) wird dadurch überhaupt erst möglich.Ich benutze im übrigen noch einen Kunstgriff, den Herr Landau in einemähnlichen Fall verwendet hat.

In der für x 0 gültigen Formel

P s (*) = * ¿ {2m}]

P\ - S \ I Q +

71=1 ~T

n

konvergiert die Reihe rechter Hand absolut, da firr z > 0

(5) I J a +i(z)\ <cz~i 4 )

gilt. Somit erhalte ich

2J O+ T" xe+l J s+i ( 2 711 mx ) J a+ 1 ( 2 711n x )

(e ! ) m,n= 1 ,

( mn ) -

bei beliebiger Anordnung der Reihenglieder. Zufolge (5) konvergiert dieseReihe auch gleichmäßig auf 0 <¡ x ^ y, so daß

y œ V

í -Pe {x)dx= U(m)ü ^n) [ x e+t J e+í {2 7l Í mx )J e+í {2nÍnx)dx

(e ¡ ) m,n=í , "-T- J 7

u (mn) "

00 1 V

(6) =2 ^ U(m)U(n ) J x se+a J e+1 (2jzxl/m)J p+1 (2nx\n)dx 5 )

m,n=1 (mn) 2 0wird. Aus

T / \ I 1 / 2 f OTC . 7t\ 3 • / Jít — 5

W*) + 1/^ coe V--2-+4J-C* ï8 m[z— 2 --4) < « 2für z > O folgt bei a > 1, ß > 1, x > O , œ — — j

J c+1 («a;) J 0+1 (ßx ) -=cos(ax + co)cos(ßx -j- co)

nx ] aß

_J

x-\al

c fsin (ctx + co) cos (ß x + co) eos (ux + <«) sin f ß x -|- o))

< C (aß) % X 3 .

4 ) Alie c sind reell und hängen nur von g ab.

6 ) Den Wert dieses Integrals kann man zwar in geschlossener Form durch

Besseische Funktionen ausdrücken; das wird aber umständlich und nützt mir nichts.

Bemerkenswert ist höchstens die im Falle m = n verwendbare Beziehung

± (* 9 ' ( j;_ l (,) + J, 2 (*))) = (4 , - 2 (z).