Asymptotische Entwicklungen.

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entnimmt, d. h. es ist:

u(z)

. v + 1 \ 0 . r+1 1

2 in -, 1 T / \ ¿tí! 1 , / \

e V -1) J„(z) = —z J» + »(«),

wo v(z) eine im Nullpunkte reguläre analytische Funktion bedeutetZusammenfassend erhalten wir das folgende Resultat: Istv^{p — 1) (mod p),

so ist die Differenz

r + 1

M*)~

2 in 1

e v -1

„ _1 t / \ 3T e

2 V = J r (z) — —

. r + 1

-47T— V+1

^ sin (v+1)

p —* - 1

-2 P

eine in der Umgebung der Stelle z = 0 reguläre, analytische Funktion,wobei für die p-te Wurzel der oben festgesetzte Wert zu nehmen ist, ist aber

v = ( p — 1) (modp),

so ist

Me)

1 ~1, — 1 i— z p log z

J V

an der Stelle z = 0 regulär analytisch. In Verbindung mit der Formel (14)ergibt sich hieraus, daß unsere Laplacesche Transformierte in die folgendeSumme zerlegbar ist:

Vn +V—1r=0

. v + 1

»+i

C r

1 + -*- yjc kp ^ P -iZ k logz-\- !F(z),

sin (v + 1 ) —(p— l) (mod p) V

k= o

wobei die erste Summe nur auf solche Werte von v zu erstrecken ist, dienicht kongruent (p — 1) modulo p sind, und W (z) eine solche Funktionbezeichnet, deren n-te Ableitung an der Stelle z=0 stetig bleibt. DieFormeln, die wir im § 2 entwickelt haben, liefern daher die asymptotischeGleichung:

lim x n

X— CO

/"(*)-

3>11+ p — 1

2'

r + 1V

1

1

w > i r(-i v+l ^ - +1

v=o sin(v4-l)— 1 11

(p— 1) (mod p) p \ p J x

V

~p Él c kv+v-í IFTï

fc=0

= 0,

wobei die auftretenden Koeffizienten c n durch die Gleichung (13) inexpliziter Form gegeben sind.